Sei \( f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R, \quad f(x) := \vert x \vert \). Dann ist für Lipschitzstetigkeit zu zeigen, dass ein \(L \in \mathbb R\) existiert mit

\(\vert f(x)-f(y)\vert \leq L\vert x-y\vert, \quad \forall x,y\in \mathbb R\). Wenn wir f einsetzen bekommen wir:

\(\vert \vert x \vert - \vert y \vert \vert \leq L\vert x-y\vert  \). 
Jetzt gilt, mit der Dreiecksungleichung, dass :

\(\vert x \vert  = \vert x-y+y\vert \leq \vert x-y\vert + \vert y \vert  \)  und \(\vert y \vert = \vert y-x+x\vert \leq \vert y-x\vert+\vert x \vert\).
Daraus folgt, dass :

\(\vert x\vert -\vert y \vert \leq \vert x -y \vert  \)  und  \(\vert y\vert-\vert x \vert \leq \vert y-x\vert \).

Also ist:

\( \vert \vert x\vert -\vert y\vert\vert \leq \vert x-y\vert\).
Und damit folgt die Behauptung mit \(L=1\).