Du kannst hier im Zähler und Nenner \(n^2\) herausheben und dann miteinander kürzen. Wenn du das was übrig bleibt gegen unendlich laufen lässt, wirst du sehen, dass sich dieser Ausdruck in die Unendlichkeit entwickelt.

In diesem Konkreten Beispiel heißt das:

\(b_n = \frac{(2n+1)^3}{3n^2-4n} = \frac{8n^3+12n^2+6n+1}{3n^2+4n}\)

Nun kannst du \(n^2\) oben und unten herausheben

\(\frac{n^2 \cdot \left( 8n+12+\frac{6}{n}+\frac{1}{n^2} \right)}{n^2 \cdot \left( 3 - \frac{4}{n} \right)} = \frac{8n+12+\frac{6}{n}+\frac{1}{n^2}}{3 - \frac{4}{n}}\)

Lässt man nun \(n\) gegen Undendlich laufen verschwinden die Brüche, in denen \(n\) im Nenner vorkommt.
Konkret heißt das:

\(\lim_{n \to \infty} \frac{6}{n} = 0\)
\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0\)
\(\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} = 0\)

\(\frac{8n+12+0+0}{3-0} = \frac{8n+12}{3}\)

Da dann Konstante Faktoren in der Unendlichkeit nicht mehr berücksichtigt werden (weil sie im Vergleich ja vernachlässigbar klein sind) steht am schluss noch:

\( \lim_{n \to \infty} n = \infty \) und somit wäre deine Lösung gezeigt \(\checkmark\)