Verteilung einer Gesamtmenge auf Teilmengen im gleichen Verhältnis

Erste Frage Aufrufe: 130     Aktiv: 05.11.2022 um 17:36

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Hallo zusammen,
ich bekomme eine Idee mathematisch nicht aufgelöst. Hier ein erstes Beispiel zum Verständnis: 
Teilmengen
100 - 10 = 10%
100 - 10 = 10%
100 - 10 = 10%
Verteilungsmenge 30
In diesem Beispiel ist es noch einfach, da die Teilmengen alle gleich sind.

Nächstes Beispiel:
Teilmengen
100 - 20 = 20%
100 - 20 = 20%
200 - 40 = 20%
Verteilungsmenge 80
Auch hier ist es noch einfach, da ich auf einem Blick sehen kann, wie ich die Verteilung vornehmen muss, um die gleiche Relation in den jeweiligen Teilmengen zu erhalten.

Nächstes Beispiel:
Teilmengen
296 - ? - ?
311 - ? - ?
270 - ? - ?
Verteilungsmenge 115,5
In diesem Beispiel sehe ich nicht mehr auf einem Blick, wie ich die Verteilung vornehmen muss. Ich könnte lediglich nährungsweise ein Ergebnis ermitteln. Gibt es für dieses Problem eine mathematische Formel bzw. wie könnte man die Ergebnisse errechnen?

Ich bin für jede Hilfe dankbar 
Viele Grüße
Gio

EDIT vom 05.11.2022 um 00:01:


Ich habe leider das Problem gar nicht treffend genug beschrieben. Es ist im Prinzip komplexer. Nehmen wir das erste Team: Die Kapazität beträgt insgesamt 296, abwesend sind 60, bleibt eine Kapazität von 236, die 60 abfangen müssen. Die Belastung soll bei einer Unterstützung von 115,5 für alle Teams relativ gleich ausfallen. In der Tabelle habe ich den Wert 9,25 % näherungsweise ermittelt. Gibt es eine Möglichkeit diesen durch eine Formel exakt zu errechnen?
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Das führt auf die Lösung eines Gleichungssystems. 
Deine gesuchten Mengen seien $x$, $y$ und $z$ und dein gesuchter Anteil dann $p$. Dann soll gelten

1. $\frac{x}{296}=p$
2. ...
3. ...
4. $x+y+z=115{,}5$. 

Du kannst dann die ersten 3 Gleichungen jeweils nach $x$, $y$ und $z$ auflösen und in die vierte Gleichung einsetzen. Dann hast du eine Gleichung für $p$, die du einfach lösen kannst.
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Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe schon lange keine Gleichung mehr gelöst. Du würdest mir sehr helfen, wenn du die erste Zeile nach x auflösen würdest. Die anderen würde ich dann sonst hinbekommen.
Viele Grüße
Gio
  ─   usera82233 04.11.2022 um 19:28

Immer auf beiden Seiten das Gleiche machen. Bei Brüchen multipliziert man gerne mal mit dem Nenner, weil sich dann die Brüche auflösen. ;)   ─   cauchy 04.11.2022 um 19:31

Wahrscheinlich stelle ich mich gerade ein bisschen blöd an. Wenn ich den Bruch auflöse (* 296), dann bin ich bei x = p * 296; wie kann ich denn nach x auflösen, wenn ich p nicht kenne? Mit einer Variable würde ich klarkommen, aber bei zweien habe ich echt ein Brett vor dem Kopf.   ─   usera82233 04.11.2022 um 21:37

Es ist doch nach $x$ aufgelöst. Das machst du für die anderen Gleichungen auch und setzt das dann in die letzte Gleichung ein, siehe Antwort.   ─   cauchy 04.11.2022 um 22:16

p296 + p311 + p270 = 115,5 | + 296p + 311p + 270p
p877 = 115,5 | / 877
p = 0,132 (13,2 %)

Ich glaube, dass müsste es sein. Vielen Dank für deine geduldige Hilfe :)
  ─   usera82233 04.11.2022 um 23:16

Gerne. :)   ─   cauchy 04.11.2022 um 23:34

Ich habe meine Frage noch mal ergänzt. Magst du dir das nochmal ansehen? Vielen Dank im Vorraus ;)   ─   usera82233 05.11.2022 um 00:02

Was verstehst du denn unter Belastung? Mit den Zahlen kann ich so nichts anfangen.   ─   cauchy 05.11.2022 um 00:15

Nehmen wir das erste Team. Es fallen 60 Stunden durch Abwesenheit aus. Diese verteilen sich auf die verbliebenen Mitarbeitern (236 Stunden) - dadurch haben wir eine Zusatzbelastung pro Stunde von etwa 25,4 %; für die anderen Teams wird die Belastung ebenso ermittelt. Allerdings fällt diese natürlich unterschiedlich aus, da zum einen die Abwesenheit unterschiedlich ausfällt und die Kapazitäten der Teams ebenso. Ein Team mit beispielsweise 300 Stunden Kapazität ist durch 60 Stunden Abwesenheit geringer belastet. Nun stehen in meinen Beispiel 115,5 Stunden Unterstützung insgesamt zur Verfügung. Diese soll auf alle Teams so aufgeteilt werden, dass die prozentuale Mehrbelastung in allen Teams identisch ist. In meinem Beispiel etwa 9,25 % - diesen Wert konnte ich aber nicht erreichen, sondern nur näherungsweise ermitteln. Für Team 1 beispielsweise 60 Stunden - 38,15 Unterstützung = 21,75 Stunden. Diese verteilt auf 236 macht eine Mehrbelastung von etwa 9,25 % - ist es jetzt besser nachvollziehbar?   ─   usera82233 05.11.2022 um 01:09

Dann hast du halt $\frac{60-x}{296-60}=p$. Der Rest bleibt gleich. Versuche einfach mit Unbekannten zu rechnen, wenn man Werte nicht kennt. Damit kommt man oft zum Ziel.   ─   cauchy 05.11.2022 um 01:15

Das probiere ich morgen gleich mal aus. Vielen Dank für die Mühe und die schnellen Antworten - ich muss jetzt unbedingt ins Bett ;)   ─   usera82233 05.11.2022 um 01:31

Ich habe nach x,y,z aufgelöst, bei mir kam dann x= -296p; y= -361p; z= -340p | eingesetzt wäre das - (-296p) + (-361p) + (-340p) = 115,5 Ergebnis = - 0,1158... Hm, das Ergebnis müsste aber sehr nahe bei 0,925... sein und auch nicht im Minus. Mache ich etwas falsch? Danke und viele Grüße   ─   usera82233 05.11.2022 um 13:40

Ich erhalte $x=60-236p$. Du hast hier offensichtlich falsch umgestellt.   ─   cauchy 05.11.2022 um 17:36

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