F(x) = ln[ tan( (2x+pi) /4) ]

Aufrufe: 161     Aktiv: 04.04.2021 um 17:52

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Ich muss den Definitions-und Wertebereich der Funktion f(x) = ln[ tan( (2x+pi) /4) ] angeben.

Für den Definitionsbereich ist das Vorgehen ja immer gleich. Für ln(z) muss z größer Null sein, also tan( (2x+pi) /4) > 0. Laut Wolfram Alpha kommt das hier raus:

Wie kommt man darauf? Das das ganze 2pi periodisch sein muss ist mir klar. Nur wie komm ich durch Umstellen oder auf anderen Wegen zu diesem Ergebnis? Wenn man (2x+pi) /4) > 0 umstellt komm ich auf x > -pi/2, das würde für das Wolfram Alpha Ergebnis für n = 1 für ...< x rauskommen (linker Term). Dadurch kann ich aber immernoch nicht begründen wie ich auf den Term komme, ganz zu schweigen von dem rechten.

Für tan(z) muss z ungleich pi/2 + k*pi sein, auch klar, damit der Nenner, also cosinus nicht Null wird, auch wieder 2pi periodisch. Also (2x+pi)/4 ungleich pi/2 + k*pi, da kommt witziger weise x ungeich pi/2 + k*pi raus, bei mir zumindest, sollte aber stimmen oder?
Die Einschränkungen für tan und ln müssten die einzigen sein. Wie würde ich letzdenendes jetzt den Definitionsbereich aufschreiben?

Nun zum meiner Meinung nach schwierigeren Teil, dem Wertebereich. Ich habe mir den Graphen und die Wertetabelle angeschaut und musste feststellen, dass ich damit überhaupt nichts anfangen kann. Es wird auch irgenwas periodisches sein, mehr kann ich dazu leider nicht sagen. 
Vielen Dank. 

Edit: Das F im Titel muss natürlich klein sein, lässt sich leider nicht ändern.
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2 Antworten
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Ich verstehe nicht warum man da so kompliziert rechnen muss, oder gar experimentell rangehen muss.
tan ist pi-periodisch, und \(>0\) auf \((0,\frac\pi2)\). Also setzt man an:\(0<\frac{2x+\pi}4<\frac\pi2\), addiert links und rechts \(n\pi\) und stellt um, fertig.
Surjektiv ist noch einfacher, denn \(\tan: (0,\frac\pi2)\longrightarrow R_{>0}\) surjektiv. Damit hangelt man sich durch bis zum gegebenen \(f\).
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Super, vielen Dank. Hätte garnicht damit gerechnet das sich diesbezüglich überhaupt jemand die Mühe macht und nun hab ich schon 3 Lösungsalternativen.

Was die Formulierung des Definitionsbereiches und ganz wichtig, den Wertebereich betrifft, können Sie mir da weiter helfen?
  ─   louis.kattner 03.04.2021 um 13:43

Du hast doch den Def-Bereich von wolframalpha, das ist die Bedingung. Und die Schreibweise \(\{x \in R | \text{ hier Bedingung einsetzen }\}\) kennst Du doch.
Zum Wertebereich hab ich oben was geschrieben, setz Dich damit auseinander und dann gerne Rückfragen.
  ─   mikn 03.04.2021 um 13:47

Ok also kann ich das so machen?

D = {x element R| pi(2n-1/2) < x < pi(2n+1/2), x ungleich pi(1/2 + n)}

Müsste ich das n bei der 2. Einschränkung umbennen, in k z.B., eigentlich nicht oder, sind ja beide element Z?

Und den Wertebereich...da bin mir nicht sicher ob der Ausdruck gegen pi/2 unendlich klein/groß wird, weil der logarithmus ja da mit reinspielt. Oder ist eine andere Information gemeint. Surjektivität sagt aus das alles was ich einsetze auch rauskommt, bringt mir für den Wertebereich wenig, da ich nicht weiß was rauskommt.
  ─   louis.kattner 03.04.2021 um 16:40

Sag mal ehrlich, Du hast keine Ahnung vom tangens. Ich bin von Deinen früheren Fragen anderes gewohnt.
Zum 1. Was soll das mit dem "ungleich"? Und wieso versch. n? Plotte dochmal mit wolframalpha.
Zum 2. Das ist nicht surjektiv. Bestimme zuerst die Bildmenge von tan(...), danach setzt man in ln ein. Aber erst, wenn Du wirklich tangens verstanden hast.
Und etwas LaTeX-Kenntnisse können auch nicht schaden, siehe die Kurzanleitung hier.
  ─   mikn 03.04.2021 um 16:45

Was ich weiß sind so die typischen Eigenschaften, er geht bei den Definitionslücken pi/2 +pi*n regelmäßig durch die Decke, dementsprechend ist sein Wertebereich ganz R, seine Nullstellen, sind die vom Sinus weil er im Nenner steht und überall wo cosinus seine nullstellen hat, hat der tangens seine Polstellen, wie oben auch schon angedeutet. Inwiefern helfen mir diese Informationen weiter oder mal anders gefragt, was ist es was mir engeht?

Das mit der Surjektivität ist doch auf 0 bis pi/2 für R positiv bezogen gewesen, also nicht von mir sondern Ihnen, im 1. Kommentar.

Zurück zum Definitionsbereich, ich hab die ungleichschreibweise auch noch nie so gesehen, würde sonst auch vermindert schreiben, aber ich habe mir extra nochmal ein Video angeschaut, zum Wiederauffrischen, da wurde das so geschrieben, aber es scheint falsch zu sein, von mir aus, dann änder ich es eben.

Ich hatte es mir ja plotten lassen, aber eben nur für tangens(...) > 0, da käme der Ausdruck von dem (1.) oberen Bild raus, ich füge nochmal ein Bild von dem Wolfram Alpha Ergebnis für die ganze Funktion ein, die sieht nämlich noch wilder aus. Deswegen dacht ich mir ich begnüge ich mich mit den Einschränkungen die ich/wir schon durchgegangen sind.
  ─   louis.kattner 03.04.2021 um 17:41

Ok die frage kann ich nicht mehr bearbeiten um das Bild einzufügen, schade.   ─   louis.kattner 03.04.2021 um 17:45

Wieso interessieren Dich Nullstellen, Polstellen, sin und cos? Wozu? Es geht um den Wertebereich, und den erschließt man sich bei einer zusammengesetzten Funktion wie dieser schrittweise. Wie so oft in der Mathematik. Natürlich sieht die ganze Funktion wild aus, daher eben schrittweise. Also \(x\in D \iff \frac{2x+\pi}4 \in (...,...)\iff \tan (\frac{2x+\pi}4)\in (...,...) \iff \ln .... \in (...,...)\). Das erste \(\iff\) haben wir schon, das zweite \(\iff\) hab ich Dir erklärt mit dem Thema surjektiv, das dritte solltest Du selbst bewältigen. Also?   ─   mikn 03.04.2021 um 21:56

Ich duze jetzt auch einfach mal...Du schreibst vom Wertebereich, schreibst aber x element D, wovon sprechen wir jetzt?   ─   louis.kattner 04.04.2021 um 11:20

Wertebereich und Defbereich hängen voneinander ab, Ich glaube Du hast für Dich immer noch nicht klar was der Wertebereich überhaupt ist. Sonst wäre es mit meiner allerersten Antwort oben schon lange geklärt.
Wir suchen: \(f(D):=\{f(x) | x \in D\}\).
  ─   mikn 04.04.2021 um 12:00

Alles was rauskommen kann. Und das was nicht rauskommen kann ist alles was ich zwischen pi/2 und pi für x einsetze.   ─   louis.kattner 04.04.2021 um 12:33

Korriegiere pi/2 und (3/2)pi   ─   louis.kattner 04.04.2021 um 12:35

aber da man das sowieso nicht einsetzen darf, alle reellen zahlen?   ─   louis.kattner 04.04.2021 um 12:45

Geraten? Sonst Begründung bitte.   ─   mikn 04.04.2021 um 12:53

Also der Wertebereich ist das was für y rauskommen kann, unter der Berücksichtigung, dass sowieso nur das rauskommen kann, was für x eingesetzt werden darf. Deshalb ist es egal wenn die Funktion für y an einigen Stellen nicht definiert ist, denn das was dafür eingesetzt wurde ist ja im Definitionsbereich ausgeschlossen.   ─   louis.kattner 04.04.2021 um 13:04

Und da es unendlich viele Möglichkeiten gibt Zahlen einzusetzen, die im Definitionsbereich liegen und da der tangens in diesen bereichen ja surjektiv ist müssten es alle reellen Zahlen sein   ─   louis.kattner 04.04.2021 um 13:11

Hm, könnte richtig gemeint sein. Aber man kann das auch präzise machen, z.B. (anders geht auch) über die von mir oben vorgeschlagene Kette mit \(\iff\) (und Begründungen dazu). Bei Dir gehen die Formulierungen noch durcheinander, und damit auch das Denken. Es kann z.B. für y nicht das rauskommen, was für x eingesetzt wird usw. ("das rauskommen was eingesetzt werden darf").   ─   mikn 04.04.2021 um 13:22

Ok wenn ich nach deinen Hinweisen gehe, dann müsste das erste von (0,pi/2) sein, das zweite, also tan(...) in diesem bereich wäre +- unendlich und das letzte dann, da der ln positiv sein muss (pi(2n-1/2,pi(2n+1/2)).   ─   louis.kattner 04.04.2021 um 13:50

Das erste ja (bei geeigneter Wahl von n, wg Periodizität - diese Begründung fehlt!). Zweite nein. Dritte nein, und der ln muss auch nicht positiv sein.   ─   mikn 04.04.2021 um 14:14

"Bei geeigneter Wahl für n", soll heißen ich muss dazu schreiben das es element von Z sein soll? Würd ich für meinen Vortrag natürlich machen... Da hab ich mich falsch ausgedrückt, also das was ich für ln einsetze muss größer 0 sein. Könnt ich für das letzte noch einen Tipp oder einen Anhaltspunkt bekommen?   ─   louis.kattner 04.04.2021 um 14:33

Es ist doch gar kein n drin. Daher musst Du begründen, warum nicht. Und der Tipp für das letzte ist derselbe, den ich schon gegeben habe: Mach Dir klar, was der Wertebereich ist.
PS: Dringender Tipp: Löse dieselbe Aufgabenstellung für eine einfache Funktion, z.B. \(f(x)=\sqrt{x+1}\). Wenn Du das sauber, präzise hast, mit Begründungen, und die Begriffe wirklich verstanden hast, dann gehe an Aufgaben wie diese (vorher nicht bitte).
  ─   mikn 04.04.2021 um 14:35

Ich muss obigen Kommentar korrigieren, den mit "Das erste ja." Das zweite nein (ist falsch).   ─   mikn 04.04.2021 um 14:44

Ich hab mir die Aufgabe nicht ausgesucht, ich habe sie gestellt bekommen. Na schön für f(x)=sqrt(x+1) ist D=x element [-1,unendlich). Der Wertebereich ist W = y element [0, unendlich). Ich kann gerne noch 8 Stunden versuchen mich mit der Aufgabe rumzuschlagen. Nur wenn ich es bis dahin nicht schaffe, kann ich die Lösung von dir erwarten oder nicht? Das wird für dich kein Argument sein, nur mir läuft die Zeit davon und ich hab noch andere Module und Aufgaben die ich erledigen muss, u.a. auch für diesen Vortrag. Manchmal kommt doch die Erkenntnis erst wenn man die Lösung hat. D.h. man kann auch mit der Lösung etwas lernen.   ─   louis.kattner 04.04.2021 um 15:14

An der Sache mit den \(\iff\) sehe ich, dass Du die Umformungen um zu D zu kommen, gar nicht verstanden hast, und daher auch die falschen Antworten auf meine Fragen zu den \(\iff\). Und bei nem Vortrag fällt das nach max. 20 Sek auf. Gehe gründlich(!!!) die Zeile mit den \(\iff\) durch und mach Dir klar, was das mit der Aufgabe zu tun hat. "gründlich" von Anfang an und Du wärst lange fertig. Die Sache mit wolframalpha ist ja die Lösung für D, die hat Dir auch nicht geholfen.   ─   mikn 04.04.2021 um 15:24

Wir drehen uns im Kreis. Meine Lösung für D ist dieselbe wie von wolframalpha (hab ich auch schon gesagt). Mach Dir das klar. Das Display-Problem kommt von den Kleiner-Zeichen mitten im Text (siehe meine Empfehlung für LaTeX-Notation, mit dem Hilfe-File kostet das 5 Min ).
Fazit: Du hast die Ergebnisse (für D und W), merkst aber selbst, das reicht nicht.
  ─   mikn 04.04.2021 um 16:02

Ich merke es. Vielleicht können wir nochmal darüber sprechen was das hier bedeutet: "Damit hangelt man sich durch bis zum gegebenen f"
  ─   louis.kattner 04.04.2021 um 16:27

Man rechnet von innen nach außen: erst x, dann \(\frac{2x+\pi}4\), dann tan davon, dann ln vom ganzen. Das ist die Idee meiner Abfolge mit den \(\iff\). Jedenfalls nachdem wir D geklärt haben, findet man so W. Mit der umgekehrten Abfolge hat man vorher D gefunden.   ─   mikn 04.04.2021 um 16:38

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Ich komme zu einem anderen Ergebnis??!!
\(0<\frac{2x+\pi}{4}<\frac{\pi}{2}\lor \pi<\frac{2x+\pi}{4}<\frac{3\pi}{2}\iff 2n\pi<\frac{2x+\pi}{4}<\frac{\pi}{2}+2n\pi\lor 2n\pi+\pi<\frac{2x+\pi}{4}<\frac{3\pi}{2}+2n\pi\iff\)
\(8n\pi<2x+\pi<2\pi+8n\pi\lor 8n\pi+4\pi<2x+\pi<6\pi+8n\pi\iff\)
\((8n-1)\pi<2x<(8n+1)\pi\lor (8n+3)\pi<2x<(8n+5)\pi\iff\)
\((4n-\frac{1}{2})\pi<x<(4n+\frac{1}{2})\pi\lor (4n+\frac{3}{2})\pi<x<(4n+\frac{5}{2})\pi\)
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Ich weiß nicht wer hinter Wolfram Alpha steht, kann ja auch gut falsch sein, was die da ausgerechnet haben. Da ich keinen Ansatz hatte konnte ich das schlecht beurteilen ob es falsch ist oder nicht.

Vielen Dank für Ihren Lösungsweg. Hab mir gerade nochmal die Verläufe von Cosinus und Tangens angeschaut und ich kann das soweit alles nachvollziehen. Das +n*2pi ist einfach dafür da das man das ganze auf alle Perioden beziehen kann. Also ist schon klar das man das braucht dafür, nur ich muss das in einen Vortrag einbauen und da muss ich mich etwas fachlicher ausdrücken als ich das hier im Forum tue.

Wie kann ich jetzt den Definitionsbereich formulieren? Die Einschränkung für ln muss ich ja auch noch berücksichtigen.

Was den Wertebereich betrifft können Sie mir nicht zufällig auch noch auf die Sprünge helfen?
  ─   louis.kattner 03.04.2021 um 13:30

Das Ergebnis von wolframalpha ist korrekt. Wer dahinter steht, lässt sich auf deren Webseiten nachlesen. Und auch ohne Ansatz gibt es viele Möglichkeiten das Ergebnis zu überprüfen.   ─   mikn 03.04.2021 um 13:44

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