Kollineation zwischen hyperbolischer Ebene und einer relativen euklidischer Geometrie

Aufrufe: 145     Aktiv: 09.05.2024 um 07:58
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Wir definieren $E := \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y > 0\}$ und $E' := \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 < 1\}$. Seien $G$ und $G'$ so, dass $(E,G)$ das Halbebenenmodell $\mathbb{H}^2$ der hyperbolischen Ebene darstellt und $(E', G')$ die relative euklidische Geometrie $\mathbb{E}^2|_E'$ auf $E'$ bezeichnet. Beweisen Sie, dass die Abbildung $Q: E \rightarrow E'$, definiert durch $Q(x,y) := {}{}\left(1 - \frac{2}{{1+x^2+y^2}}, -\frac{2x}{{1+x^2+y^2}}\right)$ eine wohldefinierte Kollineation von $\mathbb{H}^2$ nach $\mathbb{E}^2|_E'$ ist. Hinweis: Sie sollten auch beweisen, dass die Abbildung $Q$ bijektiv ist.
 
Ich weiß, dass eine Kollineation definiert werden kann, wenn $(E,G)$ und $(E',G')$ Inzidenzebenen sind, dann ist eine bijektive Abbildung $f : E \rightarrow E'$ eine Kollineation von $(E,G)$ auf $(E',G')$, wenn $f$ Linien auf Linien abbildet.
 
Dank des Hinweises weiß ich jetzt genau, wo ich anfangen könnte. Aber noch nicht ganz wie. Die inverse Abbildung zu finden, falls es eine gibt, wäre zum Beispiel sehr vorteilhaft.
Ich wäre für jede Hilfe dankbar :)
Da ich keine Hilfe bekommen konnte, ist daraus ein crosspost geworden, bitte um verzeihung :/
 

EDIT vom 05.05.2024 um 15:05:

Kollineation zwischen hyperbolischer Ebene und einer relativen euklidischer Geometrie | Mathelounge
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Punkte: 10

 
Ein crosspost wäre halb so schlimm, wenn Du es transparent machen würdest und den anderen Post hier verlinken würdest. Im übrigen ist bei Deinem mutmaßlichen crosspost das Q ein anderes als hier.   ─   mikn 05.05.2024 um 13:25
ich danke dir   ─   anonymc091e 05.05.2024 um 15:05
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1 Antwort
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Die inverse Abbildung kannst du rausfinden, oder du nutzt einfach den Satz von der impliziten Funktion. Berechne mal die Determinante der Jakobi Matrix, und du siehst, dass

$$\det(Q(x,y))= \frac{y}{(x^2+y^2+1)^3} > 0.$$
Inbesondere ist die Abbildung dann, wenn du den Werte und Definitonsbereich richtig wählst, bijektiv.

Bevor ich jetzt aber weiter tippe und mir eine Antwort überlege - was ist dein Wissensstand? Kennst du dich mit komplexer Analysis (Funktionentheorie, konformale Abbildung, Möbiustransformationen), projektiver Geometrie und/oder Mannigfaltigkeiten aus?

Edit: Wenn du weißt, wie Linien (aka Geodätische in der oberen Halbebene aussehen) kann man glaube ich auch elementar argumentieren. Geodätischen in der euklidischen Geometrie sind lediglich Geraden und in der oberen Halbene Geraden parallel zur y-Achse sowie Halbkreise.

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Punkte: 472

 
Vielen Dank für deine Hilfe! Mit dem Satz der impliziten Funktion, sowie mit der Jakobi Matrix bin ich vertraut. Konformale Abbildung, Möbiustransformationen, projektiver Geometrie sind mir geläufig, der Rest noch nicht :)
Edit: Ich habe anhand des Satzes von der impliziten Funktion, die Bijektivität gezeigt. Ich habe auch ein bildliches Verständnis der beiden Ebenen. Nur was ich noch gerne verstehen würde ist, wie genau ich die Kollineation zeigen oder erklären kann. Da eine Bijektivität kein Kollineation impliziert oder doch? Es reicht nur ein kurzer Text zu Erklärung und keinen großen Aufwand, möchte es nur verstanden habe. Nochmal danke :)   ─   anonymc091e 08.05.2024 um 15:21
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Ja, Bijektivität und Kollineation sind erstmal zwei unterschiedliche Dinge. Um die Kollineation zu zeigen, würde ich versuchen, elementar zu argumentieren: Schau dir an, wie Lininen in $E'$ aussehen und in $E$ und berechne, wie Linien auf der unit disc sich unter $Q$ abgebildet werden. Vielleicht brauchst du eine Fallutnerscheidung, aber bin mir nicht sicher.

Die Abbildung $Q$ erinnert mich stark an die stereographische Projektion und vielleicht kann man damit etwas cleveres anstellen, wenn man beide die diese Mengen auf der Riemannsphäer $\hat{\mathbb{C}}$ bzw. $\mathbb{CP}^1$ einbettet, aber ich würde hier einfach elementar argumentieren, da wir zuerst die passende Abbildung $Q(z,\bar{z})$ mit $z=x+iy$ finden müssen und dann mit komplexen Koordinaten rechnen müssen und dann sollte man vielleicht noch die Möbiustransformation verwenden, die $E$ auf $E'$ abbildet... du siehst, das ist auch anstrengend und evtl. auch nicht unbedingt schneller zielführend.   ─   crystalmath 09.05.2024 um 00:58
Ich will an dieser Stelle erwähnen, dass eine Schwierigkeit bei dieser Aufgabe darin besteht, dass wir eben nicht das Poincaré disc model verwenden, sondern eben das euklidische.   ─   crystalmath 09.05.2024 um 01:08
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ich danke dir! Dies müsste reichen :)   ─   anonymc091e 09.05.2024 um 07:58

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