Anfangswertprobleme bestimmen

Aufrufe: 125     Aktiv: 17.07.2022 um 20:48

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Hallo alle!

Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung: Bestimmen Sie die Lösung folgender Anfangswertprobleme.
Ich habe erst heute mit diesem Thema angefangen und bin mir wirklich unsicher, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe. Könnt ihr bitte mal einen Blick werfen und ggf. meine Fehler korrigieren? 

EDIT vom 17.07.2022 um 15:59:

so hab ich das ganze verstanden. Ich weiß nicht wie ich anders die Probe machen soll. 

EDIT vom 17.07.2022 um 16:38:

Das ist nun die korrigierte Version

EDIT vom 17.07.2022 um 17:23:


Also so würde ich dann vorgehen:
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Da ist am Vorgehen einiges richtig, einiges nicht.
Zunächst mal ist es sehr schwer zu lesen, weil Du nicht von oben nach unten und links nach rechts schreibst, sondern auch von unten nach oben springst, ohne Erklärungen.
Außerdem sind Vorgehen und Nebenrechnungen gemischt. auch ohne Erklärungen. Es wäre auch für Dich einfacher, wenn Du geordnet vorgehst.
Grundsätzlich: Arbeite mit unbestimmten Integralen. Das ist einfacher (aber Integrationskonstante nicht vergessen). Die Integrationskonstante (wenn zwei auftreten, kann man die zu einer zusammenfassen) wird dann ganz am Ende an den Anfangswert angepasst.
Und mach am Ende unbedingt die Probe.
Die Probe mit Deiner Lösung zeigt Dir nach 5 Sekunden (keine Übertreibung!), dass Deine Lösung nicht stimmen kann.
Es sind aber keine großen Fehler drin. Also gehe das ganze nochmal mit obigen Hinweisen an.
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Unser prof. will aber, dass wir mit bestimmten Integralen rechnen, also die grenzen immer dazuschreiben.
Und wie soll ich die Probe machen? Ich hab für x=0 eingesetzt und geschaut, ob da eine 1 rauskommt, aber das scheint mir nicht richtig, Wie soll ich die Probe genau machen?
  ─   anonym 17.07.2022 um 13:35

Da hast Du doch schon den einfachen Teil der Probe gemacht, den ich meinte. Gut. Der größere Teil der Probe ist, die gefundene Lösung in die Dgl einzusetzen. Solltest Du auch machen (wenn die Probe mit dem Anfangswert geklappt hätte).
Man kann mit bestimmten Integralen rechnen, macht aus gutem Grund kaum einer und findet man auch nicht in Büchern so. Weil man, wenn man nur den Anfangswert ändern würde (d.h. bei gleicher Dgl) die ganze Rechnung neu machen müsste.
Dann mach es halt mit best. Integralen, aber konsequent. Du hast ein unbestimmtes Integral drin, und durch Deinen ungeordneten Aufschrieb (der Fehler einlädt), bist Du mit den Grenzen durcheinander gekommen. Prüf das nochmal, es ist nicht viel falsch.
Und mach die Probe am Ende.
  ─   mikn 17.07.2022 um 13:54

Die große probe versteh' ich nicht ganz. Soll ich einfach y(x) in y´(x) einsetzen?   ─   anonym 17.07.2022 um 14:19

Du hast eine Lösung y(x) (oder y(t), je nach Bezeichnung) gefunden. Diese muss die Dgl erfüllen, prüfe, ob das der Fall ist. Deine Frage klingt so, als hast Du noch nicht verstanden, was eine Dgl ist.
Die Dgl lautet in Worten: die Ableitung der gesuchten Funktion ist gleich $-t$ multipliziert mit der 3. Potenz der gesuchten Funktion. Das muss geprüft werden.
  ─   mikn 17.07.2022 um 14:30

Tut mir leid, aber ich hab's immer noch nicht verstanden. Ich hab ja y(x)= Wurzel aus 1/x^2. Soll ich diese Funktion jetzt ableiten?   ─   anonym 17.07.2022 um 15:04

Jetzt sind wir wieder zurück am Anfang. Du hast doch selbst den kleinen Teil der Probe mit x=0 gemacht. Was war Dein Ergebnis? Weißt Du, was Du da tust?   ─   mikn 17.07.2022 um 15:09

Ich lade mal meine Probe hoch.   ─   anonym 17.07.2022 um 15:58

Ich fragte zuletzt nach der "kleinen" Probe mit x=0 (das muss ja auch erfüllt sein).
Zu der hochgeladenen "großen" Probe: würde Deine gefundene Lösungsfunktion nun die Dgl erfüllen?
Verwandte Frage: Wenn Du für die Gleichung $a^5=2a^4-a+2$ eine Lösung $a=2$ gefunden hättest, wüsstest Du wie dafür die Probe geht?
  ─   mikn 17.07.2022 um 16:05

Die kleine Probe ist eben nicht erfüllt, da wir keine 1 erhalten.
Und die große Probe ist auch nicht erfüllt. Also ist die Rechnung falsch, ich hab irgendwo einen Fehler.
Ja, die probe wäre dann einfach: für a einfach 2 einsetzen und schauen, ob links und rechts das gleiche rauskommt, in dem fall kommt das gleiche raus, also 32=32
  ─   anonym 17.07.2022 um 16:12

Aha, wenn die kleine Probe nicht erfüllt ist, welchen Sinn hat dann die große Probe? Denk das nochmal durch.
Zu der Beispielprobe mit a=2: Ja, und mit der Dgl geht es genauso, einsetzen und schauen, ob links und rechts das gleiche rauskommt.
In meinem Kommentar nach meiner ersten Antwort hab ich Dir gesagt, wo Dein Fehler ist. Also, korrigiere entsprechend, dann Probe, dann (wenn alles gut geht) fertig.
  ─   mikn 17.07.2022 um 16:27

Ich hab die große Probe nur als Übung gemacht, war auch gut so.
Ich habe nun meinen Fehler entdeckt, ich hab wirklich die Grenzen falsch eingesetzt. Wenn ich nun die Probe mache, dann kommt 1 raus. Also jetzt sollte die Rechnung stimmen, oder?
Und vielen Dank für deine Hilfe und Zeit Mikn!
  ─   anonym 17.07.2022 um 16:37

Das sieht schon sehr gut aus.
"Große" Probe als Übung machen ist auch gut. Geht hier auch (Ergebnis: Lösung stimmt).
Es gibt in Deinen Umformungen nur eine kleine Ungenauigkeit, die aber wg der Vorgabe y(0)=1 hier nicht auffällt. Damit Du aber später deswegen nicht reinfällst:
Welche Lösung erhält man bei gleicher Dgl, aber dem AW y(0)=-1? Gehe Deine Rechnung mal damit durch. (Kleine, aber lehrreiche Zusatzaufgabe)
  ─   mikn 17.07.2022 um 16:45

Danke Mikn!
Also wenn ich mit y(0)=-1 rechne, dann ändert sich ja eigentlich nichts, oder? Ich erhalte wieder die gleiche Lösung. Ich poste oben mal die Zusatzaufgabe.
  ─   anonym 17.07.2022 um 17:23

Erstmal finde ich es gut, dass du dich auf die Zusatzaufgabe einlässt. Und hast ja dafür alles nochmal ordentlich aufgeschrieben.
Nur passt die gefundene Lösung nicht, wie du ja gemerkt hast. Es gibt aber eine passende Lösung. Der Knackpunkt ist die allerletzte Umformung, die ist nämlich keine Äquivalenzumformung. Fällt dir da was auf?
  ─   mikn 17.07.2022 um 17:48

Mir fällt da leider nichts auf. Die Probe stimmt auch nicht überein. Ehrlich gesagt habe ich's noch nicht durchblickt.   ─   anonym 17.07.2022 um 18:13

$a=b$ ist nicht äquivalent zu $\sqrt{a}=\sqrt{b}$.   ─   mikn 17.07.2022 um 18:54

Ja, schon, aber ich erkenne den Zusammenhang nicht. Warum ist dieses Wissen relevant für die Zusatzaufgabe bzw. für was brauche ich dieses Wissen jetzt? Ich komm da nicht ganz mit.   ─   anonym 17.07.2022 um 19:53

Weil du damit die Zusatzaufgabe lösen kannst. Oder hast du sie schon gelöst?   ─   mikn 17.07.2022 um 20:03

Ich hab ja oben die Zusatzaufgabe gepostet. Ist das nicht die Lösung? Ich dachte, dass ich die Zusatzaufgabe fertig gelöst habe. Also oben ist ja die Zusatzaufgabe, was genau muss ich da ändern oder ergänzen?   ─   anonym 17.07.2022 um 20:48

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