Warum muss man bei folgender Frage am Schluss mal 3 rechnen?

Erste Frage Aufrufe: 93     Aktiv: 15.06.2021 um 09:29

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2a.

Warum wurde in den Lösungen am Schluss mal 3 gerechnet?

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1 Antwort
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Hallo,

die Multiplikation der 3 vorangehenden Wahrscheinlichkeiten beschreibt ja das ein Joker gezogen wird, dann keiner und dann wieder keiner. Nun kann der Joker aber an 3 Stellen auftretten. Also wir ziehen keinen, dann ziehen wir einen und dann ziehen wir wieder keinen oder wir ziehen 2x keinen und dann ziehen wir einen sind beides ebenfalls Möglichkeiten. Diese werden durch die 3 berücksichtigt.

Grüße Christian
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Oke, vielen Dank. Aber warum muss man bei folgender Aufgabe nicht mal 4 rechnen?
Spielkarten bestehen aus 36 Karten und enthalten genau vier Asse. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei vier ausgeteilten Karten genau 4 Asse zu erhalten? Lösung: 0.000016976
  ─   userd3fc60 14.06.2021 um 13:28

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Das kommt immer ein bisschen auf den Rest der Rechnung an. Ich denke es wurde folgendermaßen gerechnet:
Wir haben 4 Asse und 36 Karten. Damit ist die Wahrscheinlichkeit irgendein Ass zu ziehen \( \frac 4 {36} \). Das nächste Ass zu ziehen hat dann die Wahrscheinlichkeit \( \frac 3 {35} \) usw.
Insgesamt ergibt das
$$ \frac 4 {36} \cdot \frac 3 {35} \cdot \frac 2 {34} \cdot \frac 1 {33} = 0{,}000016976 $$
Hier haben wir alle 4 Karten direkt als eine Einheit betrachtet und so sind die Fälle in denen die Asse vertauscht sind schon mit einberechnet.

Wir können auch folgendermaßen vorgehen:
Eine bestimmte Karte zu ziehen ist \( \frac 1 {36} \). Nachdem wir eine Karte gezogen haben ist die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Karte zu ziehen \( \frac 1 {35} \).
Wir wollen jetzt 4x hintereinander ein Ass ziehen
$$ \frac 1 {36} \cdot \frac 1 {35} \cdot \frac 1 {34} \cdot \frac 1 {33} = 0{,}00000070735 $$
Jetzt haben wir hier aber eine bestimmte Reihenfolge, sagen wir mal zuerst Kreuz, dann Piek, dann Herz und dann Karo. Wir ziehen aber auch 4 Asse, wenn wir zuerst Piek, dann Kreuz usw ziehen.
Hier müssten wir wieder überlegen, wie oft man tauschen könnte. Da wir nur Asse haben, ist damit die Überlegung wie oft wir 4 Asse untereinander tauschen können. Das erste Ass kann auf 4 Plätzen landen, das nächste dann nur noch auf 3 usw. Wir erhalten also die endgültige Wahrscheinlichkeit über
$$ (4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 0{,}00000070735 = 0{,}000016976 $$

In der Aufgabe aus deiner Frage haben wir auch erst die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass ein beliebiger Joker an erster Stelle gezogen wird. Aber er kann auch an den anderen Stellen auftauchen, deshalb muss hier noch ein Faktor $3$ berückstichtigt werden.
  ─   christian_strack 14.06.2021 um 13:48

Okey, vielen Dank. Ich bin sehr dankbar für deine Antwort, aber wie erkennt man so am besten oder mit welcher Frage, dass man noch die Schritte für andere Fälle multiplizieren muss?   ─   userd3fc60 14.06.2021 um 16:25

Das freut mich :)
Das ist schwer zu pauschalisieren. Auch wenn man das immer am unliebsten hört, ist Übung das Beste was man tun kann. Es gibt da eher selten ein Kochrezept zur Lösung.
Mach dir immer genau klar, was du da eigentlich gerade berechnest. Dann überlege dir immer, gibt es noch mehrere Fälle, die das selbe beschreiben. Beispielsweise durch tauschen von Karten und von Würfelergebnissen oder was auch immer.
Leider hatte ich auch oft etwas Schwierigkeiten mit der Kombinatorik. Habe hier im Forum viele gesehen, die oft ne elegantere, kürzere Lösung hatten. Aber ich denke, dass ist Übungssache. Man muss einfach ein Gefühl dafür entwickeln.
  ─   christian_strack 15.06.2021 um 09:29

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