Eine Menge ist kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.

Wenn eine Menge nicht kompakt ist, ist eine der beiden Bedingungen verletzt, oder beide. Vermutlich habt Ihr in der Vorlesung diese beiden Begriffe gehabt.

Für die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen bedeutet nicht beschränkt, dass die Teilmenge $E$ entweder keine größte oder keine kleinste Zahl hat, d.h. es gibt mindestens eine Folge, bei der die Beträge der Elemente irgendwann mal jeden beliebig großen Wert übersteigen. nicht abgeschlossen bedeutet, dass es mindestens eine konvergierende Folge gibt, deren Grenzwert nicht in $E$ liegt. Alternativ kann man mit dem $\epsilon$-$\delta$-Kriterium argumentieren...

Auf dieser Grundlage ist nun jeweils eine Funktion zu finden, die die Eigenschaften der Aufgabenstellung hat. Dass die Funktion diese Eigenschaften hat, muss natürlich auch bewiesen werden.