Das ist zwar alles richtig, aber hat wenig mit Geometrie zu tun. Geometrisch ist die Determinante sowas wie eine Verallgemeinerung eines "Streckungsfaktors", genauer: Sei $M\in\mathbb R^{n\times n}$, dann ist $\det M$ das Volumen des Bildes des Einheits-Hyperwürfels $[0,1]^n$, oder allgemeiner das Volumen eines Parallelepipets, das von den Bildern einer Orthonormalbasis aufgespannt wird, oder noch allgemeiner, der Faktor, mit dem sich das Volumen eines beliebigen Objekts (das ein Volumen hat) unter der Abbildung verändert.