Achsenschnittpunkte

Erste Frage Aufrufe: 940     Aktiv: 18.11.2020 um 22:29
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Ich habe die Aufgabe f(x) = x³-4x²+5x-2 ; xe IR  ich soll die Achsenschnittpunkte berechnen verstehe aber nicht wie da ja die -2 da ist und ich deswegen nicht ausklammern kann wie soll das gehen Hilfe. Schnittpunkt auf der X Achse für Y hab ichs schon  (0 für fx einsetzen..)

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x=1 ist die erste Lösung. Die findet man durch unerschrockenes Ausprobieren.
Polynomdivision macht dann aus der Gleichung 3. Grades eine quadratische Gleichung.
Den Rest besorgt die "Mitternachtsformel.   ─   xx1943 18.11.2020 um 19:28
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ja, und für die Nullstellen brauchst du eine Polynomdivision . Weißt du, wie man das macht ? 

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Sag mir bitte nur was ich machen muss und wie   ─   domme678 18.11.2020 um 19:28
Also die 1 hast durch Raten und Proberechnen herausgefunden. Nun teilst du deinen langen Original - Term durch (x -1) . Wenn dir das Probleme macht , dann hänge ich dir noch ein Video an...   ─   markushasenb 18.11.2020 um 19:31

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Versuch mal eine Polynomdivision mit \((x^3-4x^2+5x-2):(x-1)\) zu fürhen, dann zerlegst du dein Polynom in ein Quadratisches Polynom und die \((x-1)\) und kannst mit PQ-Formel und Satz des Nullprodukts die Nullstellen finden :)

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Ich kann es doch mit lösen durch probieren machen wenn dann 0 rauskommt bei einer Zahl muss ich dann das Honorschema benutzen und dann hab ich meine gleichung wo ich PQ-Formel nutze oder=?   ─   domme678 18.11.2020 um 19:30
Horner Schema ist natürlich auch ne Option, dachte das ihr das nicht habt. Polynomdivison geht natürlich trotzdem auch und sollte man immer beherrschen ;)
Anbei noch ein zusätzlicher Link zu den Links von Markus. Mein Link ist dann bezüglich des Horner Schemas:
https://www.youtube.com/watch?v=tMehEcEsRsY   ─   kallemann 18.11.2020 um 19:37
hABE jetzt honorschema gemacht habe x³ = 1,75 und x² 1,25 wie bekomme ich jetzt die Achsenschnittpunkte auf x seite raus?   ─   domme678 18.11.2020 um 19:46
Meinst du das Horner Schema? Die beiden Nullstellen sind glatt, eine ist die 1 und die andere findest du mit der Polynomdivision und anschließend der pq Formel. Mit den Werten 1,75 und 1,25 kann ich in deiner Funktion nichts anfangen.   ─   markushasenb 18.11.2020 um 19:49
Ja, aber das ganze habe ich ja gemacht um die Achsenschnittpunkte herauszufinden. Sy ist (0/-2) aber was ist der Achsenschnittpunkt mit der x achse?   ─   domme678 18.11.2020 um 19:50
Schnittpunkt mit der y-Achse hast du richtig berechnet für x = 0 in f(x) einsetzten, liefert (0,-2)
Schnittpunkt mit der x-Achse/Nullstellen berechnet man, indem man f(x) = 0 setzt, also bei dir \(x^3-4x^2+5x-2=0\).
Die Gleichung \(x^3-4x^2+5x-2=0\) kannst du aber nicht ohne weiters lösen, du musst sie erst aufsplitten, mit Polynomdivision oder Horner-Schema. Da du dich die ganze Zeit auf das Horner-Schema beziehst, vermute ich mal, dass ihr das benutzen sollt. Wo liegt jetzt das Problem? Bei der Anwendung des Schemas? Bei der generellen NS-Berechnung?
Zusammengefasst: Du musst die Gleichung \(x^3-4x^2+5x-2=0\) erst aufsplitten um sie zu lösen.   ─   kallemann 18.11.2020 um 20:01
Habe ich, ich habe Horner Schema benutzt und habe die beiden Zahlen 1,75 und 1,25 raus bekommen aber wie mache ich nun weiter das ich den Schnittpunkt mit der x Achse habe da die aufgabe ist gebe die Achsenschnittpunkte an, was muss ich nach dem Horner Schema und dann PQ-Formel danach machen=?   ─   domme678 18.11.2020 um 20:02
1. Mit "gebe die Achsenschnittpunkte an" ist gemeint, dass du den/die x-Achsenabschnitt/e und y-Achsenabschnitt bestimmen sollst.
2. y-Achsenschnittpunkt hast du, ist richtig
3. x-Achsenschnittpunkt berechnest du, indem du f(x) = 0 setzt, also \(x^3-4x^2+5x-2=0\). Die Zahlen die du mit deinem Horner-Schema raus bekommen hast, sind allerdings falsch. Was hast du denn gerechnet?   ─   kallemann 18.11.2020 um 20:05
Ich habe --3:2 +- BRUCH (-3:2)²+-2 da kam raus 1,50 und 0,25 also einmal 1,50 + 0,25 gerechnet und 1,50 - 0,25 somit kam 1,75 und 1,25 raus (PQ Formel war das links habe an der Tastatur nicht die mittel für nen bruch deswegen so kompliziert gerechnet. Was mache ich nun nach der PQ-Formel für den x Achsenschnittpunkt?   ─   domme678 18.11.2020 um 20:08
Okay, da ist einiges durcheinander, ich rechne dir das Horner-Schema mal vor:
Du hast \(x^3-4x^2+5x-2=0\). Wenn du für x = 1 einsetzt, dann kommt 0 raus (\(1^3-4\cdot 1^2+5\cdot 1-2=0\) also gilt, x = 1 ist eine NS, welche du im Horner-Schema brauchst. Du hast dann folgendes:
1 -4 5 -2
x=1 1 -3 2
1 -3 2 0
=> \(1\cdot x^2-3x+2\)
Nur wenn unten rechts 0 rauskommt bist du richtig.
Du hast also ein Polynom \(x^3-4x^2+5x-2\) in \((x^2-3x+2)\cdot (x-1)\) zerlegt.
Folglich hast du nun \((x^2-3x+2)\cdot (x-1) = 0\). Das kannst du jetzt mit dem Satz des Nullprodukts lösen (Produkt wird Null wenn einer der Faktoren gleich Null ist)
\(x^2-3x+2 = 0\) mit PQ-Formel und \(x-1=0\) einfach eine Äquivalenzumformung.
Am Ende kommst du auf die Lösungen \(x_1=2, x_2=1\) mit der PQ-Formel, plus die Lösung von \(x-1=0\) also \(x_3=1\) auf 3 Lösungen.
Da \(x_2\) gleich \(x_3\) ist, gilt: Deine Funktion f(x) = \(x^3-4x^2+5x-2\) hat die Nullstellen \(x_1=2, x_2=1\). Lass das erstmal sacken und ließ es dir ein paar mal durch.
Wiederhole ebenfalls folgende Dinge:
1. Nullstellenberechnung
2. Das Video von Daniel mit dem Horner-Schema
Hoffe das hilft dir etwas!
   ─   kallemann 18.11.2020 um 20:20
So haben wir das aber absolut nicht beigebracht bekommen von unserer Lehrerin   ─   domme678 18.11.2020 um 20:25
Das Horner-Schema oder die generelle Nullstellenberechnung?
Auf welche Funktion bist du denn nach der Anwendung des Horner-Schemas gekommen?   ─   kallemann 18.11.2020 um 20:27
Nach dem Horner Schema hatte ich x²-3x+2=0 daraus habe ich die PQ-Formel genutzt und kam auf x² ist 1,75 (1,50+0,25) und auf x³ ist 1,25 (1,50-0,25)   ─   domme678 18.11.2020 um 20:33
p/2 = 1,5
1,5 +- Wurzel 2,25 - 2 = Wurzel aus 1/4 = 0,5
1,5 + 0,5 = 2
Und 1,5 - 0,5 = 1   ─   markushasenb 18.11.2020 um 20:38
Okay ja danke habe die letzte wurzel vergessen zu berechnen danke! habe jetzt x2 = 1 x³= 2 was mache ich nun um den Achsenschnittpunkt x zu haben?   ─   domme678 18.11.2020 um 20:40
Horner-Schema ist ja schon richtig, das kam garnicht so durch bei deinen Antworten. Also hast du wie oben von mir bereits erwähnt:
\(x^3-4x^2+5x-2 = 0\) <=> \((x^2-3x+2)\cdot (x-1) = 0\) und \((x^2-3x+2)\cdot (x-1) = 0\) kannst du mit dem Satz des Nullprodukts lösen.
\((x^2-3x+2)\cdot (x-1) = 0\) gilt, wenn entweder \(x^2-3x+2=0\) oder \(x-1=0\)
1. Option: \(x^2-3x+2=0\) lösen mit PQ-Formel (\(-\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\) wobei p = -3 und q = +2
Einsetzen liefert: \(-\frac{-3}{2} \pm \sqrt{(\frac{-3}{2})^2-3}\) = \(\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}-2}\) = \(\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}-\frac{8}{4}}\) = \(\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}}\) = \(\frac{3}{2}\pm \frac{1}{2}\) => x\(x_1 = \frac{3}{2}+ \frac{1}{2} = 2 , x_2 = \frac{3}{2}- \frac{1}{2} = 1\)
Also liefert die PQ-Formel von \(x^2-3x+2\) die Nullstellen \(x_1=2, x_2=1\)
2. Option: \(x-1=0\) <=> \(x=1\) => 3. Nullstelle ist \(x_3=1\)
Insgesamt hast du 3 Lösungen, wobei \(x_2 = x_3 = 1\), daher als 2 Nullstellen bei \(x_1=2\) und \(x_2=1\)
Deine PQ-Formel war einfach falsch, hoffe nun ist es geklärt! :)   ─   kallemann 18.11.2020 um 20:44
Das sind die Nullstellen und die sind 1 und 2 , schau es dir mal im Graphen an .   ─   markushasenb 18.11.2020 um 20:45
Okay also ist der Schnittpunkt mit der y Achse Sy (0/-2) und Sx (2/1) oder wie?   ─   domme678 18.11.2020 um 20:45
Nein um die y-Koordinaten davon heraus zu finden, musst du \(x_1=2\) und \(x_2=1\) für x in f(x) einsetzen.   ─   kallemann 18.11.2020 um 20:52
Also dementsprechend \(S_{x_1}(2/0)\) und \(S_{x_2}(1/0)\)   ─   kallemann 18.11.2020 um 20:54
Bei beiden f(1) und f(2) kam 0 raus was nun?   ─   domme678 18.11.2020 um 20:55
Siehe meinen Kommentar oben (das einsetzten diente für dich als Probe und zur Verdeutlichung, denn logischerweise kommt für y = 0 raus, wenn du eine Nullstelle in eine Funktion einsetzt). Hab es dir oben mit deiner Noation von \(S_x\) sauber aufgeschrieben.   ─   kallemann 18.11.2020 um 20:57
Das ist doch der Sinn der Sache ! Du setzt f(x) = 0 und sagst : ich will wissen, welche x ich einsetzen muss, damit y , also f(x) = 0 wird !   ─   markushasenb 18.11.2020 um 20:57
Okay also ist der Schnittpunkt mit der X achse Sx (2/0) und Sx (1/0) ?   ─   domme678 18.11.2020 um 20:58
Genau wie du beim y - Achsenabsxhnitt für x die 0 einsetzt und dann weißt , wo der Graph die y - Achse schneidet !   ─   markushasenb 18.11.2020 um 20:58
Es ist nicht DER SCHNITTPUNKT genau genommen, sondern DIE SCHNITTPUNKTE ;)   ─   kallemann 18.11.2020 um 20:58
Okay danke denke hab es verstanden nach 1 Stunde die a) und es geht bis f) XDD   ─   domme678 18.11.2020 um 20:59
Genau so ! Und der y - Achsen Schnittpunkt ist ( 0/ -2 )   ─   markushasenb 18.11.2020 um 20:59
Dann Abfahrt und weiterrechnen! Viel Erfolg! ;)   ─   kallemann 18.11.2020 um 20:59
@domme: dann gib mal Gas 😅
Und melde dich, wenn es Probleme gibt ...
@ kallemann: langer Matheabend ? ✨   ─   markushasenb 18.11.2020 um 21:01
@markushasenb: Bin gerade nebenbei noch ein bisschen am EWS machen.
Denke für ein paar weiter Fragen bin ich noch verfügbar, die ganz späten Dinger überlasse ich dann dir ;)   ─   kallemann 18.11.2020 um 21:05
Hab noch ne längere Fahrt - kann kommen ;-)   ─   markushasenb 18.11.2020 um 21:07
Was mache ich wenn bei der PQ Formel 2x die gleichen ergebisse am ende kommen also x² ist 1 und x³ ist auch 1 da ich 1+0 und 1-0 rechnen musste da 0 unter dem Bruch rauskam?   ─   domme678 18.11.2020 um 21:20
Bin mir nicht sicher was du meinst??? :O   ─   kallemann 18.11.2020 um 21:23
PQ-Formel: --2:2 +- BRUCH (-2:2)2 -1 kommt raus links 1 und im Bruch 0 also muss ich 1 + 0 und 1 - 0 rechnen zweimal kommt 1 raus was tun? Achsenschnittpunkte berechnen ausgangsform ist fx= -4x³+12x²-12x+4   ─   domme678 18.11.2020 um 21:25
Glaube du meinst \(-\frac{-2}{2}\pm \sqrt{(\frac{-2}{2})^2-1}\) = \(1\pm \sqrt{(-1)^2-1}\) = \(1\pm \sqrt{1-1}\) = \(1\pm \sqrt{0}\) = 1.
Du hast die Wurzel vergessen und \(-\frac{-2}{2} = 1\)!!! Heißt du hast eine Nullstelle \(S_{x_1}(1/0)\)   ─   kallemann 18.11.2020 um 21:29
(-2:2)²-1 kommt bei mir 0 raus   ─   domme678 18.11.2020 um 21:32
Ja korrekt   ─   markushasenb 18.11.2020 um 21:35
Ja deine Rechnung ist richtig, wollte nur nochmal verdeutlichen, dass \(-\frac{-2}{2} = 1\) ist, hörte sich so an als seist du nicht sicher. Du hast wie gesagt damit nur eine Nullstelle mit x_1 = 1, dein Plus-Minus 0 ändert ja nichts mehr :)   ─   kallemann 18.11.2020 um 21:36
Ja also --2:2 +- (-2:2)²-1 Das heißt links kam 1 raus im Bruch 0 also muss man x² 1+0 = 1 und x³ 1-0= 1 wie schreibe ich das in einer arbeit hin?   ─   domme678 18.11.2020 um 21:36
Nein, du hast NUR EINE NULLSTELLE. Heißt deine einzige Nullstelle (für diese PQ-Formel Lösung) ist bei \(S_{x_1}(1/0)\) :)   ─   kallemann 18.11.2020 um 21:37
Okay also würde ich einfach schreiben Sx (1/0)   ─   domme678 18.11.2020 um 21:38
Wenn bei pq unter der Wurzel etwas pos steht, dann erhältst du zwei Lösungen, wenn eine 0 dort steht, dann hast du 1 Lösung und wenn zwar neg dort steht , dann gibt es keine Lösung .   ─   markushasenb 18.11.2020 um 21:38
@domme678 Ja! Und mit dem Kommentar von @markushasenb hast du auch ein "Rezept" wann was als Lösung vorliegt
   ─   kallemann 18.11.2020 um 21:40
Okay, ich muss jetzt noch die Extrempunkte berechnen nachdem ich die erste ableitung gemacht habe f´x= -12x²+24x-12 kommt auch wieder x²-2x+1=0 raus da man ja auch noch normalform herstellen muss und das ist die gleiche Funktion wie eben auch es kommt wieder nur 1 raus wie mache ich das jetzt mit dem Hoch und tiefpunkt?   ─   domme678 18.11.2020 um 21:40
Du setzt die erste Ableitung gleich Null als notwendige Bedingung und kriegst \(x_1=1\) heraus. Deine Funktion besitzt also bei x = 1 möglicherweise einen Extrempunkt. Dies gilt es noch mit der hinreichenden Bedingung zu zeigen.   ─   kallemann 18.11.2020 um 21:43
Okay und wie sieht die bedinung aus was soll ich schreiben?   ─   domme678 18.11.2020 um 21:44
Hier sind Videos von Daniel dazu, wie immer super erklärt:
Teil 1: https://www.youtube.com/watch?v=EU8SQRA7Qjo
Teil 2: https://www.youtube.com/watch?v=kv9Q_B78Wow   ─   kallemann 18.11.2020 um 21:46
Ich gib auf. Ich habe nur einen Punkt und nicht zwei. Ich habe nur x= 1 also wie soll ich hoch und tiefpunkt erhalten   ─   domme678 18.11.2020 um 21:49
Ok warte ich denke ich habs doch habe jetzt in die zweite ableitung 1 eingesetzt also f´´x= -24x1+24=0 also gibt es keine Extrempunkte richtig da bed f´´x ungleich 0 ?   ─   domme678 18.11.2020 um 21:52
Wenn du nur einen Punkt aus deiner notwendigen Bedingung bekommst, dann überprüfst du logischerweise auch nur diesen einen Punkt in der hinreichenden Bedingung (wie Daniel es im Video zeigt) und bekommst entweder einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt.   ─   kallemann 18.11.2020 um 21:53
Wenn du etwas = 0 raus hast, dann musst du den Punkt x = 1 mit der anderen hinreichend Bedingung untersuchen (Teil 2 beim Video von Daniel)
Das ist das Vorzeichenwechsel-Kriterium! :)   ─   kallemann 18.11.2020 um 21:56
Wenn die zweite Ableitung bei deinem möglichen Extrempunkt auch 0 ist , dann könnte es ein Wendepunkt sein. Dann brauchst du die dritte Ableitung und die muss ungleich 0 sein.   ─   markushasenb 18.11.2020 um 21:58
Sag mal deine Originalfunktion bitte   ─   markushasenb 18.11.2020 um 22:01
Guter Ergänzung Markus, danke! Ich lasse dich (domme) jetzt voll und ganz in den Händen von Markus, ich muss jetzt nochmal eben selbst ein paar Aufgaben durchrechnen. Viel Erfolg dir noch! ;)   ─   kallemann 18.11.2020 um 22:01
-4x³+12x²-12x+4 wenn ich mich nicht irre   ─   kallemann 18.11.2020 um 22:01
-4x³+12x²-12x+4 richtig ^   ─   domme678 18.11.2020 um 22:02
Hattest recht Markus, ist eine WS ;)   ─   kallemann 18.11.2020 um 22:02
Okay, wie gebe ich denn jetzt bei der Funktion die Monotonie an?   ─   domme678 18.11.2020 um 22:03
Moment   ─   markushasenb 18.11.2020 um 22:04
Schau dir mal den Graphen an: die Wendestelle bei 1 , weil 2. Ableitung gleich 0 und dritte Ableitung ungleich 0. was siehst du denn hinsichtlich der Monotonie ? Was passiert an der Wendestelle ? Da wechselt die Krümmung - schau mal genau hin . Bild siehe unten !   ─   markushasenb 18.11.2020 um 22:07
Ja, das problem ist ich muss das mathematisch belegen und nicht mit einem bild...   ─   domme678 18.11.2020 um 22:08
Ja, sachte ! Welches Kriterium kennst du denn für steigende Funktionen ?   ─   markushasenb 18.11.2020 um 22:15
Denk mal an die 1. Ableitung ... was sagt die uns ?   ─   markushasenb 18.11.2020 um 22:18
Ich hab nochmal zusätzlich den Graphen der 1. Ableitung drübergelegt , da siehst du gut , was los ist. Wenn du nun deinen Stift an den Kurvenverlauf der Originalfunktion (blau) legst, was stellst du fest , wenn diesen Verlauf mit den geraden g1 = -x und g 2 = -x vergleichst ?   ─   markushasenb 18.11.2020 um 22:25

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oKAY und wie schreibe ich das Mathematisch in einer Klausur wenn beide Achsenschnittpunkte gefragt sind=?   ─   domme678 18.11.2020 um 20:48
Dann schreibst du: der y - Achsenabschnitt ist y = -2 oder f (0) = -2
Und die Nullstellen sind x1 = 1 und x 2 = 2 , wobei x 1 eine doppelte NS ist .
  ─   markushasenb 18.11.2020 um 20:54

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