Burnsides Lemma- wo liegt mein Denkfehler?

Aufrufe: 157     Aktiv: 07.09.2022 um 13:43

1
Hallo!
Ich wollte folgende Aufgabe bearbeiten: 


Ich habe folgende Lösung dazu: 


Kurze Erklärung: Ich habe zunächst alle Fixpunkte gezählt und im Anschluss alle Elemente von $\mathbb{Z_4}$ abgezogen. 
In der Musterlösung werden aber nur die Fixpunkte von $\mathbb{Z_4}$ gezählt. Also: $\frac{1}{4}(3^8+2*3^2+3^4)=1665$. Wieso macht man das aber? In der Aufgabenstellung steht doch, dass 2 Verteilungen gleich sind, wenn sie durch ein Element von $\mathbb{Z_4}$  ineinander überführt werden. Also muss man doch genau die Elemente von $\mathbb{Z_4}$ ausschließen, um alle verschiedenen Verteilungen zu zählen. Kann mich jemand aufklären? Vielen Dank
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 33

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Ich verstehe leider nicht, welchen Gedanken du bei deiner Lösung hattest, deshalb werde ich im Folgenden nur auf die Musterlösung eingehen:

Wichtig ist, sich klarzumachen, was hier überhaupt gefragt ist. Die Gruppe \( Z_4\) operiert auf der Menge der \( 3^8 \) möglichen Essensverteilungen. Wir betrachten zwei Essensverteilungen als gleich, wenn sie durch ein Element aus \( Z_4 \) ineinander überführt werden können, d.h. wenn sie in der gleichen Bahn liegen. Gefragt ist nun nach der Anzahl voneinander verschiedener Verteilungen, d.h. gefragt ist nach der Anzahl der voneinander verschiedenen Bahnen.

Wie man nun die Anzahl dieser verschiedenen Bahnen mithilfe der Fixpunkte ermitteln kann, sagt dann das Lemma von Burnside. Hier muss man einfach nur die entsprechende Formel anwenden und ist fertig.

Ich hoffe, dass dir das ein wenig weitergeholfen hat.
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 6.88K

 

Also meine Gedanken waren, dass ich zunächst die Automorphismengruppe vom 8-Eck, also $Aut(K_8)$ bestimme. Dann habe ich mir $\mathbb{Z_4}$ angeschaut und festgestellt, dass $\sigma \in \mathbb{Z_4}$, also eine 90°-Rotation eben genau mein $d_2 \in Aut(K_8)$ ist. Analog ist $\sigma^2$ $\in \mathbb{Z_4}$ eine 180°-Rotation, also $d_4 \in Aut(K_8)$. Gleiches gilt für $Aut(K_8) \ni d_6=\sigma^3$ $\in \mathbb{Z_4}$. Also habe ich genau genau diese $d_{2,4,6}$ und $id$ von $Aut(K_8)$ abgezogen und mit der Differenz gezählt.

Wenn beispielsweise kein Zusatz mit $\mathbb{Z_4}$ gegeben ist, dann würde ich das aber über $Aut(K_8)$ machen oder?
  ─   huhu123 03.09.2022 um 22:13

Dass \( Aut(K_8) \) die Gruppe \( Z_4 \) als Untergruppe enthält, das hast du richtig erkannt, aber damit lässt sich noch kein Zusammenhang zwischen \( Aut(K_8) \) und den Essensverteilungen herstellen. Zwei Essensverteilungen können verschieden sein und trotzdem durch ein Element aus \( Aut(K_8) \) auseinander hervorgehen. Ich erkenne hier leider den Bezug zur Aufgabe nicht.

Wenn der Zusatz \( Z_4 \) nicht gegeben wäre, dann wäre die Aufgabe nicht lösbar. Man braucht hier zwingend eine Angabe zur Gleichheit, weil das nicht einfach aus dem Sachkontext gefolgert werden kann. Hätte man hingegen eine innermathematische Aufgabe, also z.B. einen Kreisgraph, dann wäre das natürlich anders. In diesem Falle ist in der Vorlesung bestimmt mal festgelegt worden, wann Gleichheit gelten soll. Hier kommt dann tatsächlich die Automorphismengruppe ins Spiel.
  ─   42 04.09.2022 um 03:47

Alles klar vielen lieben Dank.   ─   huhu123 05.09.2022 um 18:24

Hallo, ich hätte noch eine Frage zu Burnside. Ich habe dazu eine Frage bereits gestellt aber keine Antwort erhalten. Da Du aber genau das Thema angesprochen hast und mir bei einem ähnlichen Problem schon geholfen hast, würde ich mich total freuen, wenn Du helfen könntest.   ─   huhu123 06.09.2022 um 21:56

Ich habe mir deine andere Frage angeschaut, allerdings weiß ich leider auch nicht weiter. Für mich sieht das, was du gemacht hast, richtig aus. Vielleicht ist in der Musterlösung ein Fehler. Oder vielleicht steht auch noch eine andere Information in der Aufgabenstellung. Wenn du die Aufgabenstellung im Original noch dazu posten könntest, dann wäre das sicher hilfreich.   ─   42 07.09.2022 um 11:40

Danke für deine Hilfe! Ich habe soeben die originale Aufgabenstellung dazugepostet.   ─   huhu123 07.09.2022 um 13:43

Kommentar schreiben