Lipschitzbedingung

Aufrufe: 810     Aktiv: 14.07.2020 um 18:52

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Die ersten 2 Aufgabe sind machbar aber bei der c) bin ich überfragt, was ich machen muss. Kann mir da jmd helfen?

Des habe ich bis jetzt, nur bei der Aufgabe c) hab ich gedacht ich muss für beide y werte das c ausrechnen(hab ich ja auch angefangen, aber ist das der richtige Weg und wenn ja wie geht es weiter? 

Hat da jmd ne Ahnung, ich würde mich über ne Antwort freuen

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Im letzten Schritt für die Lösung ist es besser, \(c\in R\) zuzulassen.

\( |y| =c\cdot \frac1{1+x^2}\) mit \(c>0 \iff y(x) =c\cdot \frac1{1+x^2}\) mit \(c\in R\) (erspart die Fallunterscheidung).

Zu c): Ja, erstmal die beiden Lösungen ausrechnen:

\(\tilde y (x)=0\) konstant (da \(c=0\)).

\(y(x)\) hat \(c=\sqrt{1.5}\).

Dann gilt: \(| y(x)-\tilde y(x)| = \sqrt{1.5} \frac1{\sqrt{1+x^2}} = e^{\ln\sqrt{1.5}-\ln\sqrt{1+x^2}}= e^{\ln\sqrt{1+a^2}-\ln\sqrt{1+x^2}}\) mit \(a=\sqrt{0.5}\).

Mit \(g(x):=\ln\sqrt{1+x^2}\) gilt nach Mittelwertsatz \(g(x)-g(a) = g'(z)\,(x-a)\) für ein \(z\in R\), also \(|g(x)-g(x)| = |g'(z)|\cdot |x-a|\). Nun ist

\(|g'(z)|=|\frac{z}{1+z^2}| \le M\), wobei \(M\) das in b) berechnete Maximum ist. Nun ist alles reif für die Ernte:

\(| y(x)-\tilde y(x)| = e^{\ln\sqrt{1+a^2}-\ln\sqrt{1+x^2}} = e^{g(a)-g(x)} \le e^{|g(a)-g(x)|} \le e^{M\cdot |x-a|}\), fertig mit \(L:=M\).

Schau Dir die Schritte in Ruhe an und frag bei Bedarf ruhig nochmal nach.

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Vielen Vielen Dank für die Antwort. Ich habe gerade noch ein Problem warum bei y schlange c=0 ist. Kannst du mir des erklären?   ─   carlos 13.07.2020 um 21:53

Ahh stimmt sorry hab icb total vergessen   ─   carlos 13.07.2020 um 22:43

So ich hab mir des jetzt nochmal angeschaut und ich hab tatsächlich noch ne Frage nämlich:
1.Warum ist √1,5* 1/(1+x^2) = e^........ ist das irgendeine Regel, dass man des machen kann?
2. Und woher wissen wir das die Funktion in der b unsere Steigungsfunktion ist?

Den Rest habe ich glaube ich verstanden, den Mittelwertsatz habe ich schonmal gesehen/benutzt aber komplett verdrängt.

Ich wäre darauf wahrscheinlich nie gekommen, danke nochmal für die Hilfe.
  ─   carlos 14.07.2020 um 00:30

Ahh, ok. Vielen Dank.   ─   carlos 14.07.2020 um 00:58

Perfekt hatte ich mir fast gedacht. Weil die Wurzel danach ja wieder da ist ^^
  ─   carlos 14.07.2020 um 17:26

Ich hab tatsächlich direkt in der nächsten Aufgabe wieder ein Problem, ich glaube dieses mal ist es ein etwas kleineres. Aber könntest du dir des mal anschauen, weil ich stehe grad auf dem schlauch, was ich falsch gemacht habe. Ich hab eine neue Frage auf gemacht. Das wäre auf jedenfall mega   ─   carlos 14.07.2020 um 17:42

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