Für die Dir bekannte Taylorentwicklung gilt: $f(x_0+h)\approx f(x_0)+f'(x_0)\cdot h$.
Das wird hier angewandt in 3d auf $f(x+h)\widehat{=}E_x(r+d)$, also
$f\widehat{=} E_x, x_0\widehat{=} r, h\widehat{=}d$, wobei $E_x$ drei Veränderliche $(x,y,z)$ hat. Man setzt einfach die entsprechenden mehrdimensionalen Ausdrücke ein:
Also $f'(x_0)\widehat{=}\begin{pmatrix}\frac{\partial E_x}{\partial x}(r)\\ \frac{\partial E_x}{\partial y}(r)\\ \frac{\partial E_x}{\partial z}(r)\end{pmatrix}$ und $d\widehat{=}\begin{pmatrix}d_x\\ d_y\\ d_z\end{pmatrix}$. Die Multiplikation bei $f'(x)\cdot h$ wird dann zum Skalarprodukt in 3d.