Reihenentwicklung Unklar

Aufrufe: 49     Aktiv: 28.10.2021 um 12:33

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beim letzten schritt ist mir die naeherung mathematisch ueberhaupt nicht klar.
mein wissensstand zu "reihenentwicklung" sagt, dass ich eine taylorreihe hinstelle mit: summe bis unendlich, n-te ableitung durch n! mal (x-x0)^n. bin ich da komplett auf der falschen faehrte oder was fehlt mir hier?

waere dankbar, wenn jemand den letzten schritt vielleicht ausfuehrlicher oder verstaendlicher formulieren koennte, oder mich in die richtige richtung weisen koennte.
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Für die Dir bekannte Taylorentwicklung gilt: $f(x_0+h)\approx f(x_0)+f'(x_0)\cdot h$.
Das wird hier angewandt in 3d auf $f(x+h)\widehat{=}E_x(r+d)$, also
$f\widehat{=} E_x, x_0\widehat{=} r, h\widehat{=}d$, wobei $E_x$ drei Veränderliche $(x,y,z)$ hat. Man setzt einfach die entsprechenden mehrdimensionalen Ausdrücke ein:
Also $f'(x_0)\widehat{=}\begin{pmatrix}\frac{\partial E_x}{\partial x}(r)\\ \frac{\partial E_x}{\partial y}(r)\\ \frac{\partial E_x}{\partial z}(r)\end{pmatrix}$ und $d\widehat{=}\begin{pmatrix}d_x\\ d_y\\ d_z\end{pmatrix}$. Die Multiplikation bei $f'(x)\cdot h$ wird dann zum Skalarprodukt in 3d.
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der existenz dieser naeherung war ich mir auch im eindimensionalen nicht bewusst, so kann ich ja nochmal nachlesen oder auch einfach die sache hinnehmen. aber damit verstehe ich jetzt wenigstens, wie dieser schritt funktioniert, lieben dank!   ─   matmatek 27.10.2021 um 23:58

Ja, lies das nach. Die Näherung durch die abgebrochene Taylorentwicklung nennt man auch Linearisierung und entspricht graphisch dem Annähern durch eine Tangente (bzw. Tangentialebene). Dieses Prinzip kommt sehr oft vor.   ─   mikn 28.10.2021 um 12:33

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