Es ist einfach zu sehen, dass es keine Bijektion \(X\to\mathcal P(X)\) gibt, für beliebige Mengen \(X\). Betrachte die Abbildung $$\{0,1\}^\mathbb N\to\mathcal P(\mathbb N),\quad (x_n)_{n\in\mathbb N}\mapsto\{n\in\mathbb N\ |\ x_n=1\}.$$ Eine leichte Rechnung zeigt, dass diese Abbildung bijektiv ist, bildet man weiter eine Folge aus \(\{0,1\}^\mathbb N\) auf die Dezimalzahl \(0.x_1x_2\ldots\) ab, erhält man eine Injektion \(\{0,1\}^\mathbb N\to\mathbb R\). Damit ergibt sich $$|\mathbb N|<|\mathcal P(\mathbb N)|=|\{0,1\}^\mathbb N|\leq|\mathbb R|$$ und damit das gewünschte Resultat.