Vollständigkeit normierter Raum

Aufrufe: 119     Aktiv: 23.04.2023 um 16:58

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Hallo, ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Wie man zeigt, dass das integral ein skalarprodukt definiert, weiß ich. Nun habe ich ein Problem bei der gelb markierten Aufgabe. Welche Norm induziert hier das skalarprodukt und muss ich dann zeigen, dass jede chauchyfolge bzgl der induzierten metrik konvergiert?
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Moin,

jedes Skalarprodukt induiziert via $\|\cdot\|=\sqrt{\langle\cdot,\cdot\rangle}$ eine Norm. Diese Norm induziert eine Metrik, bzgl deren man über Konvergenz sprechen kann. Zu zeigen ist also, eine beliebige Cauchy-Folge $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ mit $x_n\in V$  $ \forall n\in \mathbb{N}$ hat einen Grenzwert $x=\lim\limits_{n\to \infty}x_n$ und $x\in V$.
In deinem Fall ist V aber nicht vollständig (Gegenbeispiel s. Kommentare).

LG
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Student, Punkte: 3.19K

 

Vielen Dank! Ich muss also lediglich argumentieren, dass wegen dem Cauchy Kriterium für gleichmäßige Konvergenz jede cauchy folge gleichmäßig konvergiert und wegen der Stetigkeit von x(n) auch x stetig ist, oder?   ─   userff1974 22.04.2023 um 22:30

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So wie ich das sehe, ist der Raum \(V\) der stetigen Funktionen bzgl. der \(L^2\)-Norm nicht vollständig. Man kann dazu beispielsweise die Funktionen
\( f_n(x) = \begin{cases} (2x)^n, & x \in \left[0,\frac{1}{2}\right) \\ 1, & x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right] \end{cases} \)
betrachten.
  ─   42 23.04.2023 um 14:45

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Ja, so ist es. Der Raum ist eben nicht vollständig. Konvergenz in L2 ist eben nicht dasselbe wie Konvergenz in der sup-Norm (welche gleichmäßige Konvergenz bedeutet).
Aber die lockere Argumentation hat das Fragy anscheinend überzeugt ;-(
  ─   mikn 23.04.2023 um 15:09

@42 @mikn stimmt! ich habe die falsche Norm verwendet. Ich werde meine Antwort löschen, vielleicht schreibt Ihr den Kommentar noch mal als Antwort, falls der Fragy, oder jemand anders zu der Frage zurückkommt.   ─   fix 23.04.2023 um 16:24

@fix Ich fände es besser, wenn Du Deine Antwort editierst und belässt (Fragy hat ja auch nach der Norm gefragt) und für die Vollständigkeit auf die Kommentare unten verweist.   ─   mikn 23.04.2023 um 16:30

@mikn Ok, hab ich gemacht   ─   fix 23.04.2023 um 16:58

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