(Twitter)
0
Moin,
jedes Skalarprodukt induiziert via $\|\cdot\|=\sqrt{\langle\cdot,\cdot\rangle}$ eine Norm. Diese Norm induziert eine Metrik, bzgl deren man über Konvergenz sprechen kann. Zu zeigen ist also, eine beliebige Cauchy-Folge $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ mit $x_n\in V$ $ \forall n\in \mathbb{N}$ hat einen Grenzwert $x=\lim\limits_{n\to \infty}x_n$ und $x\in V$.
In deinem Fall ist V aber nicht vollständig (Gegenbeispiel s. Kommentare).
LG
jedes Skalarprodukt induiziert via $\|\cdot\|=\sqrt{\langle\cdot,\cdot\rangle}$ eine Norm. Diese Norm induziert eine Metrik, bzgl deren man über Konvergenz sprechen kann. Zu zeigen ist also, eine beliebige Cauchy-Folge $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ mit $x_n\in V$ $ \forall n\in \mathbb{N}$ hat einen Grenzwert $x=\lim\limits_{n\to \infty}x_n$ und $x\in V$.
In deinem Fall ist V aber nicht vollständig (Gegenbeispiel s. Kommentare).
LG
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
fix
Student, Punkte: 3.82K
Student, Punkte: 3.82K
Ja, so ist es. Der Raum ist eben nicht vollständig. Konvergenz in L2 ist eben nicht dasselbe wie Konvergenz in der sup-Norm (welche gleichmäßige Konvergenz bedeutet).
Aber die lockere Argumentation hat das Fragy anscheinend überzeugt ;-( ─ mikn 23.04.2023 um 15:09
Aber die lockere Argumentation hat das Fragy anscheinend überzeugt ;-( ─ mikn 23.04.2023 um 15:09
@42 @mikn stimmt! ich habe die falsche Norm verwendet. Ich werde meine Antwort löschen, vielleicht schreibt Ihr den Kommentar noch mal als Antwort, falls der Fragy, oder jemand anders zu der Frage zurückkommt.
─
fix
23.04.2023 um 16:24
@fix Ich fände es besser, wenn Du Deine Antwort editierst und belässt (Fragy hat ja auch nach der Norm gefragt) und für die Vollständigkeit auf die Kommentare unten verweist.
─
mikn
23.04.2023 um 16:30
@mikn Ok, hab ich gemacht
─
fix
23.04.2023 um 16:58
\( f_n(x) = \begin{cases} (2x)^n, & x \in \left[0,\frac{1}{2}\right) \\ 1, & x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right] \end{cases} \)
betrachten. ─ 42 23.04.2023 um 14:45