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Das Besondere an diesem Kissoiden-Körper ist das Folgende:
Wenn man einen solchen Körper konstruiert, dann ist klar: Dieser Körper muss aus sehr dünnen Wänden (unten in rot) bestehen; die Wanddicke muss gegen 0 gehen. Und genauso das wird bei diesem Körper gemacht.
Die rote Fläche hat einen Flächeninhalt von \( 3\pi/8 \). Ein Beweis hierfür findet sich hier: https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=analysis2_1_6_Z5 , "Satz (Integral der Kissoide)", mit \(r=1/2 \).
Der Rotationskörper entsteht durch Rotation der roten Fläche um die y-Achse. Dieser Rotationskörper hat endliches Volumen V.
Beweis:
Sei \( f(x) =\sqrt{\frac{x^3}{1-x}} \) die Funktion, deren Graph gleich der Kissoide ist.
Von diesem f bilde ich die Umkehrfunktion g. Es gilt also auf der Kissoide: \( x=g(y) \) und \(y = f(x) \).
Dieses g kann man auch als Formel ausdrücken, aber die ist saumäßig kompliziert, und ich brauche sie nicht, drum spare ich es mir.
Wenn ich die rote Fläche rotiere, dann hat der Rotationskörper ein Volumen von
\( V \;=\; 2\pi \int_0^{\infty} 1^2-(g(y))^2 dy \;=\; 2\pi \int_0^{\infty} (1-g(y))\,(1+g(y)) \,dy \)
Das Verwirrende mag hier sein, das hier y die Integrationsvariable ist, nicht x. Das muss aber so sein, weil um die y-Achse rotiert wird.
Nun ist \( x=g(y) \) auf der ganzen Kissoide kleiner 1, denn x=1 ist die Asymptote. Also
\( V \;<\; 2\pi \int_0^{\infty} (1-g(y))\,(1+1)\,dy \;=\; 4\pi \underbrace{\int_0^{\infty} (1-g(y))\,dy}_{\mbox{Inhalt der roten Fläche}} \;=\; 4 \pi \frac{3\pi}{8} \;=\; \frac{3\pi^2}{2}\)
Also ist V endlich.
Der Hohlraum ist unendlich groß, da er aus einem unendlich hohen Zylinder besteht, dem man einen Rotationskörper mit endlichem Volumen V weggenommen hat.
- Endliches Volumen...
- ...aber er schließt einen Hohlraum mit unendlichem Volumen ein
Wenn man einen solchen Körper konstruiert, dann ist klar: Dieser Körper muss aus sehr dünnen Wänden (unten in rot) bestehen; die Wanddicke muss gegen 0 gehen. Und genauso das wird bei diesem Körper gemacht.
Die rote Fläche hat einen Flächeninhalt von \( 3\pi/8 \). Ein Beweis hierfür findet sich hier: https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=analysis2_1_6_Z5 , "Satz (Integral der Kissoide)", mit \(r=1/2 \).
Der Rotationskörper entsteht durch Rotation der roten Fläche um die y-Achse. Dieser Rotationskörper hat endliches Volumen V.
Beweis:
Sei \( f(x) =\sqrt{\frac{x^3}{1-x}} \) die Funktion, deren Graph gleich der Kissoide ist.
Von diesem f bilde ich die Umkehrfunktion g. Es gilt also auf der Kissoide: \( x=g(y) \) und \(y = f(x) \).
Dieses g kann man auch als Formel ausdrücken, aber die ist saumäßig kompliziert, und ich brauche sie nicht, drum spare ich es mir.
Wenn ich die rote Fläche rotiere, dann hat der Rotationskörper ein Volumen von
\( V \;=\; 2\pi \int_0^{\infty} 1^2-(g(y))^2 dy \;=\; 2\pi \int_0^{\infty} (1-g(y))\,(1+g(y)) \,dy \)
Das Verwirrende mag hier sein, das hier y die Integrationsvariable ist, nicht x. Das muss aber so sein, weil um die y-Achse rotiert wird.
Nun ist \( x=g(y) \) auf der ganzen Kissoide kleiner 1, denn x=1 ist die Asymptote. Also
\( V \;<\; 2\pi \int_0^{\infty} (1-g(y))\,(1+1)\,dy \;=\; 4\pi \underbrace{\int_0^{\infty} (1-g(y))\,dy}_{\mbox{Inhalt der roten Fläche}} \;=\; 4 \pi \frac{3\pi}{8} \;=\; \frac{3\pi^2}{2}\)
Also ist V endlich.
Der Hohlraum ist unendlich groß, da er aus einem unendlich hohen Zylinder besteht, dem man einen Rotationskörper mit endlichem Volumen V weggenommen hat.
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m.simon.539
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Vielen herzlichen Dank für den Tipp! Die entscheidende Aussage "...leichtgewichtiges Trinkglas, das nicht einmal der härteste Trinker leeren könnte" hätte mir zu denken geben müssen. Ich hing immer an der Formulierung fest "..indem sie die Bedingungen umkehrten: ihr Körper hat eine endliche Oberfläche und ein unendliches Volumen" Und so etwas kann es ja wohl nicht geben (von topologischen "Spitzfindigkeiten" abgesehen).
Also eine vielleicht unglückliche Formulierung des Autors J. Havil oder ein Übersetzungsfehler. Ich lerne (mal wieder): Nicht alles, was man schwarz auf weiß besitzt, kann man getrost nach Hause tragen. ─ user77e28f 05.09.2023 um 10:04
Also eine vielleicht unglückliche Formulierung des Autors J. Havil oder ein Übersetzungsfehler. Ich lerne (mal wieder): Nicht alles, was man schwarz auf weiß besitzt, kann man getrost nach Hause tragen. ─ user77e28f 05.09.2023 um 10:04