"Umkehrung" der Torricelli-Trompete

Erste Frage Aufrufe: 141     Aktiv: 06.09.2023 um 23:11

0
Aus dem Buch Verblüfft?!  von J. Havel (Seite 85ff): "Torricelli schenkte also der Mathematik 1643 einen Körper mit unendlicher Oberfläche, aber endlichem Volumen. Kurze Zeit später, 1685, steigerten Christian Huygens und René F. de Sluze das damalige mathematische Unbehagen, indem sie die Bedingungen umkehrten: ihr Körper hat eine endliche Oberfläche und ein unendliches Volumen.
... Wir belassen es bei dem Hinweis, dass der Körper durch die Kissoide erzeugt wird...Die kanonische Kurve hat die Gleichung y^2 = x^3/(1-x) ...offensichtlich, dass die Kurve bei x=1 eine vertikale Asymptote hat.... Der betreffende Körper wird durch die Rotation der oberen Hälfte der Kissoide und der vertikalen Asymptote um die y-Achse erzeugt. ..."

Gemeinerweise zitiert J. Havel auch noch aus einem Brief von de Sluze an Huygens, man könne den Körper beschreiben als "...leichtgewichtiges Trinkglas, das nicht einmal der härteste Trinker leeren könnte."

Meine Frage: Wo finde ich mehr zu diesem Körper als die Andeutungen im o.g. Buch, vielleicht auch einen Beweis seiner so unglaublichen Eigenschaft?
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 49

 

Google.   ─   cauchy 02.09.2023 um 00:27

Bezieht sich "dieser Köper" auf den mit endlichen oder unendlichen Volumen?   ─   crystalmath 02.09.2023 um 23:43

Einen Körper mit endlicher Oberfläche, aber unendlichem Volumen zu erzeugen ist ganz einfach:
Man nehme den ganzen \( \mathbb{R}^3 \) ohne die Einheitskugel.

Wenn ich die Kissoide mitsamt der Asympote \( x=1 \) um die y-Achse drehe, dann erhalte ich einen Körper mit unendlicher Oberfläche.

Googeln lieferte keinerlei Hinweise auf diesen seltsamen Körper.

Kann es vielleicht sein, dass dieser Kissoiden-Körper, genau wie die Torricelli-Trompete, ein Körper mit unendlicher Oberfläche, aber endlichem Volumen ist? Wenn ja, dann hätte der nämlich noch die zusätzliche interessante Eigenschaft, dass er hohl ist, und dieser Hohlraum unendlich groß ist. Das würde nämlich zu der Andeutung "...leichtgewichtiges Trinkglas, das nicht einmal der härteste Trinker leeren könnte" passen.

Hast Du schonmal versucht auszurechnen, ob das Volumen dieses Kissoiden-Körpers endlich oder unendlich ist? Wenn endlich - was ich vermute - dann wäre das Geheimnis dieses Körpers m.E. gelüftet.
  ─   m.simon.539 02.09.2023 um 23:43
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Das Besondere an diesem Kissoiden-Körper ist das Folgende:
  • Endliches Volumen...
  • ...aber er schließt einen Hohlraum mit unendlichem Volumen ein
Das rechtfertigt die Aussage: "...leichtgewichtiges Trinkglas, das nicht einmal der härteste Trinker leeren könnte."

Wenn man einen solchen Körper konstruiert, dann ist klar: Dieser Körper muss aus sehr dünnen Wänden (unten in rot) bestehen; die Wanddicke muss gegen 0 gehen. Und genauso das wird bei diesem Körper gemacht.

 
Die rote Fläche hat einen Flächeninhalt von \( 3\pi/8 \). Ein Beweis hierfür findet sich hier: https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=analysis2_1_6_Z5 , "Satz (Integral der Kissoide)", mit \(r=1/2 \).

Der Rotationskörper entsteht durch Rotation der roten Fläche um die y-Achse. Dieser Rotationskörper hat endliches Volumen V.

Beweis:
Sei \( f(x) =\sqrt{\frac{x^3}{1-x}} \) die Funktion, deren Graph gleich der Kissoide ist.
Von diesem f bilde ich die Umkehrfunktion g. Es gilt also auf der Kissoide: \( x=g(y) \) und \(y = f(x) \).
Dieses g kann man auch als Formel ausdrücken, aber die ist saumäßig kompliziert, und ich brauche sie nicht, drum spare ich es mir.
Wenn ich die rote Fläche rotiere, dann hat der Rotationskörper ein Volumen von

\( V \;=\; 2\pi \int_0^{\infty} 1^2-(g(y))^2 dy \;=\; 2\pi \int_0^{\infty} (1-g(y))\,(1+g(y)) \,dy \)

Das Verwirrende mag hier sein, das hier y die Integrationsvariable ist, nicht x. Das muss aber so sein, weil um die y-Achse rotiert wird.

Nun ist \( x=g(y) \) auf der ganzen Kissoide kleiner 1, denn x=1 ist die Asymptote. Also

\( V \;<\; 2\pi \int_0^{\infty} (1-g(y))\,(1+1)\,dy \;=\; 4\pi \underbrace{\int_0^{\infty} (1-g(y))\,dy}_{\mbox{Inhalt der roten Fläche}} \;=\; 4 \pi \frac{3\pi}{8} \;=\; \frac{3\pi^2}{2}\)

Also ist V endlich.


Der Hohlraum ist unendlich groß, da er aus einem unendlich hohen Zylinder besteht, dem man einen Rotationskörper mit endlichem Volumen V weggenommen hat.
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 210

 

Vielen herzlichen Dank für den Tipp! Die entscheidende Aussage "...leichtgewichtiges Trinkglas, das nicht einmal der härteste Trinker leeren könnte" hätte mir zu denken geben müssen. Ich hing immer an der Formulierung fest "..indem sie die Bedingungen umkehrten: ihr Körper hat eine endliche Oberfläche und ein unendliches Volumen" Und so etwas kann es ja wohl nicht geben (von topologischen "Spitzfindigkeiten" abgesehen).
Also eine vielleicht unglückliche Formulierung des Autors J. Havil oder ein Übersetzungsfehler. Ich lerne (mal wieder): Nicht alles, was man schwarz auf weiß besitzt, kann man getrost nach Hause tragen.
  ─   user77e28f 05.09.2023 um 10:04

Kommentar schreiben