Hallo,

schon mal als kleinen Spoiler: Es gibt keinen solchen Punkt!

Du sollst einen Punkt finden, dessen Entfernung zum Punkt \( A(3|3) \) doppelt so groß wie die Entfernung zum Punkt \( B(3|6) \). 

Wir visualiserien uns das ganze einmal:

Den Abstand von zwei Punkten können wir mittels Satz des Pythagoras bestimmen.

Die Strecke \( c \) ist die direkte Verbindung zwischenden Punkten \( C \) und \( D \). Ihre Länge ist als der Abstand dieser beiden Punkte. Den Abstand können wir somit über

$$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $$

berechnen. Wir haben nun zwei Möglichkeiten zu zeigen, dass es so einen gesuchten Punkt wie aus der Aufgabe nicht gibt.

1) Wir können das ganze rein rechnernisch überprüfen. Dafür betrachten wir alle Punkte auf der x-Achse. 

Welchen \( y \) Wert haben alle Punkte die auf der x-Achse liegen?

$$ P(x|?) $$

Den \( x \)-Wert lassen wir variabel, so betrachten wir alle Punkte auf der x-Achse gleichzeitig. 

Jetzt können wir den Abstand von Punkte \( A \) zu Punkt \( P \) und den Abstand von Punkt \( B \) nach Punkt \( P \) berechnen. 

Um den Satz des Pythagoras zu nutzen, müssen wir zuerst die Längen \( a \) und \( b \) aus dem zweiten Bild berechnen. Diese Längen entsprechen den Differenzen der Koordinaten, also

$$ a = x_2 - x_1 $$

und

$$ b = y_2 - y_ 1 $$

ist das verständlich?

Nun setzen wir mal alles in den Satz des Pythagoras ein. Zuerst für den Abstand von Punkt \(A \) nach Punkt \( P \).

$$ c_1 = \sqrt{ (x_2 - x_1 )^2 + (y_2 - y_1)^2 } = \sqrt{ (x - 3)^2 + (? - 3)^2 } $$

Das kannst du nun auch für den Abstand von Punkt \( B \) nach Punkt \( P \) machen. Wie sieht das aus?
(Bedenke, dass das \( ? \) dort steht, weil ich dir die Überlegung zur y-Koordinate des Punktes \( P \) nicht vorwegnehmen möchte)

Nun hast du die zwei Gleichungen. Diese Beschreiben den Abstand der Punkte \( A \) bzw \( B \) zum allgemeinen Punkt \( P \). 

Wir nutzen nun, das der Abstand von Punkt \( A \) nach Punkt \( P \) doppelt so groß sein soll wie der Abstand von Punkt \(B \) nach \( P \). Wie können wir das ganze durch eine Gleichung ausdrücken? 

In diese Gleichung kannst du nun deine Abstände einsetzen und so den gesuchten \( x \)-Wert bestimmen. 

Noch ein kleiner Hinweis: Du kommst hier an den Punkt, dass die Wurzelausdrücke quadrierst um dann eine quadratische Gleichung zu lösen (an diesem Punkt sieht man dann auch, dass es kein \( x \) gibt, dass diese Eigenschaft besitzt). Beim quadrieren muss man vorsichtig sein, da dies keine sogenannte Äquivalenzumformung ist. Es kann sein, dass du eine Lösung erhälst, die aber trotzdem nicht richtig ist. Deshalb müsstest du, falls die quadratische Gleichung eine Lösung liefern würde, diese noch testweise einsetzen und überprüfen ob sie wirklich stimmt. 

2) Die zweite Möglichkeit geht wesentlich schneller. Der Satz des Pythagoras sagt uns nämlich sofort, warum es keinen solchen Punkt geben kann! Wir wissen, dass der Abstand zweier Punkte durch den Satz des Pythagoras bestimmt werden kann. Und wir wissen, dass die Kathetenlängen aus der Differenz der x- bzw. y-Koordinaten entstehen. 
Wenn du dir jetzt nochmal das erste Bild anguckst, dann ist die Differenz der x-Koordinaten von Punkt einem der gegebenen Punkte zu jedem Punkt auf der x-Achse gleich. \( a \) wäre also immer für \(A \) und \(B \) gleich. 
Der Abstand von Punkt \( B \) zur x-Achse ist größer als der Abstand von Punkt \( A \). Damit ist die Länge \( b \) für den Punkt \( B \) immer größer als für den Punkt \( A \). 
Damit ist aber dann auch \( c \) und somit der Abstand von \( B \) zu jedem Punkt auf der x-Achse größer als für den Punkt \( A \). 

Ist das verständlich?

Wenn du den ersten Fall fürs Verständnis einmal durchrechnen willst, gucke ich gerne nochmal drüber. Falls noch Fragen sind melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian