Stetigkeit Werte Bestimmen

Aufrufe: 287     Aktiv: 24.05.2022 um 22:09

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Zu Bestimmen sind alle a0 aus den reellen Zahlen für die f: R->R g(a)= sqrt(|a|) * (a- [a])
stetig ist.

Wie berechnet man sowas?
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Punkte: 38

 

Betrachte den Graph von h(a)=a-[a].   ─   mikn 24.05.2022 um 17:16

Wofür stand nochmal [a]? Ich dachte zuerst an die Rundungsfunktion, aber da wäre nicht klar in welche Richtung   ─   nutzer123 24.05.2022 um 17:33

Nicht denken, sondern in deinen Unterlagen nachschlagen.   ─   mikn 24.05.2022 um 17:39

Das ist die Gauß-Klammer.
Also [x] ist eine ganze Zahl und kann nur kleiner oder gleich x sein.
Müsste der Graph dann nicht fast immer 0 sein?
  ─   nutzer123 24.05.2022 um 17:52

Nein. Im Gegenteil. Zeichne!   ─   mikn 24.05.2022 um 18:06

Welche Abstände soll ich bei der X-Achse nutzen? 0.1? Bei 1, 2, 3 … kommt immer 0 heraus   ─   nutzer123 24.05.2022 um 18:15

Probier doch aus.   ─   mikn 24.05.2022 um 18:24

Also in 0.1er Schritten baut sich die Funktion immer bis 0.9 auf. Also bei 0 ist sie 0, dann bis einschließlich 0,9 der jeweilige X Wert und bei 1 wieder 0. Ab 1.1 ist es wieder 0.1 und es geht genau wie vorher weiter   ─   nutzer123 24.05.2022 um 18:28

Lade deine Skizze hoch.   ─   mikn 24.05.2022 um 18:31

Ich habe gerade keine Möglichkeit dazu, aber die Zeichnung entspricht bei Geogebra der Funktion x-[x] (die Klammern sind da nur nach unten)   ─   nutzer123 24.05.2022 um 18:34
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Moin,
wie mikn schon angemerkt hat, ist se sinnvoll, sich solche Funktionen erstmal vorzustellen bzw. zu zeichnen. Was man hier auf jeden Fall betrachten muss: wie verhält sich die Funktion, wenn man ganze Zahlen einsetzt, und wie sonst. Dann erkennt man schnell in welche Richtung das ganze geht, und muss es nur noch anhand eines Beispieles zeigen.
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Für ganze Zahlen ergibt das ja immer 0, da der eine Faktor des Produkts zu 0 wird. Für nicht ganze Zahlen ergibt der rechte Faktor immer die jeweilige Nachkommastelle und sqrt(|x|) ist eine positive Zahl die kleiner ist als der rechte Faktor   ─   nutzer123 24.05.2022 um 20:04

Wichtig ist, bei nichtganzen Zahlen, ist die Funktion immer stetig (warum?). Dann nur noch bei den ganzen Zahlen auf Stetigkeit prüfen   ─   fix 24.05.2022 um 21:12

Wie prüft man nochmal am besten auf die Stetigkeit? Welches Kriterium wäre hier am besten? Lim gegen x von beiden Seiten? Gegen welchen Wert wäre das dann?   ─   nutzer123 24.05.2022 um 21:26

genau. Zeige dass der Limes für eine beliebige ganze Zahl gegen 0 geht (bzw. warum er nicht gegen 0 geht). Außerdem musst du beide Grenzwert (einen von oben, den anderen von unten) betrachten.   ─   fix 24.05.2022 um 21:48

Ah, also lim x -> x0+ f(x) = 0 und
lim x -> x0- f(x) = 0 ist zu zeigen? Für die nicht ganzen Zahlen und das Gegenteil für die ganzen Zahlen?
  ─   nutzer123 24.05.2022 um 22:00

Für die nichtganzen Zahlen haben wir doch schon gezeigt, dass die Funktion stetig ist. Das liegt daran, dass Wurzelfunktion, Identität und Abrundungsfunktion für nichtganze Zahlen stetig sind. Jetzt musst du zeigen: \(\lim\limits_{x\to n^-}f(x)=f(n)\) für beliebige \(n \in \mathbb{Z}\). Das geht relativ einfach.   ─   fix 24.05.2022 um 22:07

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