Hallo mbaldak,

zuerst machst du im Nenner eine quadratische Ergänzung und fasst noch etwas zusammen:

\(3x^2+x+8=\left[3x^2 +x+\left(\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2\right]-\left(\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2 +8=\left(\sqrt{3}x+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2 -\dfrac{1}{12}+8=\left(\dfrac{6x+1}{2\sqrt{3}}\right)^2 +\dfrac{95}{12}=\dfrac{(6x+1)^2+95}{12}\)

Somit folgt für dein Integral erstmal nur durch Umstellen und ohne Substitution:

\(\displaystyle{\int \dfrac{7}{3x^2+x+8} \text{d}x =\int \dfrac{7\cdot 12}{(6x+1)^2+95} \text{d}x =84 \int \dfrac{1}{95\left[\frac{(6x+1)^2}{95} +1\right]} \text{d}x=\dfrac{84}{95} \int \dfrac{1}{\left(\frac{6x+1}{\sqrt{95}}\right)^2+1} \text{d}x}\)
Jetzt kannst du \(u=\dfrac{6x+1}{\sqrt{95}}\) substituieren und solltest mit dem verrechnen des Faktor beim Ableiten auf die Stammendunktion des Arcustagens kommen. Am Ende noch Rücksubstituieren und dann hast du deine gesuchte Stammfunktion.

Hoffe das hat dir geholfen.