Ich nehme jetzt mal die Stunde als Zeiteinheit.
Zur Zeit \(t=0\) habe ich 1000 Bakterien, zur Zeit \(t=1\) habe ich 2000 Bakterien.
\( N(t) \) ist die Anzahl der Bakterien zur Zeit t.
Also ist \(N(0)=1000\) und  \(N(1)=2000\).
Also ist \(N_0 e^{\lambda  \cdot 0 }=1000\) und  \(N_0 e^{ \lambda \cdot 1 }=2000\).
Die letzten beiden Gleichungen kann man vereinfachen, und daraus kann man dann \( \lambda \) herleiten, und zwar wie folgt:
Aus der 1. Gleichung folgt, dass \(N_0 =1000\) ist.
Das die 2. Gleichung eingesetzt ergilt: \(1000\,e^{ \lambda}=2000\). Ich vermute, bis hierher bist Du gekommen.
Teilt man beide Seiten der Gleichung durch 1000, so folgt: \(e^{ \lambda}=2\).
Nun wende ich auf beide Seiten den "ln" (=natürlicher Logarithmus) an. "ln" ist die Umkehrfunktion von \(e^x\). Das ergibt: \(\lambda=\ln 2\).