Matrixprodukt, Determinanten, charakteristisches Polynom

Aufrufe: 139     Aktiv: 23.05.2024 um 12:14

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Hi, ich hatte die Frage schon in einem anderen Forum gestellt, jedoch keine klare Antwort bekommen.

Frage:
Wenn A und B zwei quadratische Matrizen sind, gilt ja det(AB) = det(BA). Gilt dann auch das det(AB - t*E) = det(BA - t*E) ist, wobei E die Einheitsmatrix und t ein Skalar ist?

Ich bekam die Antwort, das es wegen det(AB - tE) = det((AB - tE)^T) = det((AB)^T - tE) = det(B^T A^T - tE) = det(BA - tE) gilt. Es ist mir hier aber unklar, warum die letzte Gleichheit det(B^T - A^T - tE) = det(BA - tE) gelten muss. Ich kenne die Regel det(B^T A^T) = det(BA), jedoch ist hier noch ein -tE und da ist mir es eben unklar. Ich würde mich auf eine Antwort freuen.

LG

 
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Du hast beim Antworter ja nachgefragt, nun warte doch ab, was der sagt. Und diskutiere mit dem weiter. Warum sollen wir Antworten von anderen erklären?
  ─   mikn 20.05.2024 um 19:16

Niemand ist hier gezwungen mir es zu erklären. Ich frage einfach nur nach, da ich diese Antwort eventuell dringender brauche. Wenn Sie kein Interesse daran haben, mir zu helfen, finde ich es nicht schlimm, aber bitte schreiben Sie dann am besten einfach nichts. Das ganze ist auch nicht böse gemeint, nur ist es einfach unnötig.
  ─   user88de87 20.05.2024 um 19:26

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Wie Du weißt hab ich Interesse zu helfen und gerade Du hast davon profitiert. Aber ich finde es respektlos gegenüber einem Helfer, wenn man nicht ihm die Chance gibt seine Antwort zu erklären (dazu gehört auch mal abwarten - Dir ist ja klar, dass wir hier alle gratis in unserer Freizeit, und das an einem Feiertag, helfen.) Da fände ich mehr Respekt angesagt. Ist meine Meinung.
Ich vermute, dass hinter Deiner Frage eine Aufgabe oder andere Fragestellung steckt. Aber die kenne ich nicht.
  ─   mikn 20.05.2024 um 19:35

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Rückfrage ist auf mathelounge beantwortet.   ─   mikn 20.05.2024 um 19:51

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Sie haben natürlich Recht. Im Normalfall warte ich es auch. Ich war heute nur ein wenig unter Stress. Übrigens war das vorhin auch nicht böse gemeint, ich schätze die Hilfe immer wert. Vorallem haben Sie mir auch schon paar mal geholfen und da bin ich Ihnen sehr dankbar.   ─   user88de87 20.05.2024 um 20:43

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Schon gut, alles ok. Du siehst die Antwort war alles andere als trivial (das ahnte ich schon). Wenn eine andere Aufgabe hinter Deiner Frage mit det...=det steckt, kannst Du die ruhig hier stellen.   ─   mikn 20.05.2024 um 21:00

Danke für das Hilfeangebot!
Die Frage kam ursprünglich aus meiner Beweisidee zum Satz:

Satz: Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum (K ist ein Körper) und f,g: V->V zwei Endomorphimen. Zeige: Die Kompositionen f•g und g•f haben beide dieselben Eigenwerte.

Mein Beweis.
Ich weiss ja, das V endlichdimensional ist, d.h. ich wähle eine Basis B von V und bestimme dann die darstellende Matrix M(f) von f bzgl. Basis B von V und zu einer anderen Basis B‘ von V die darstellende Matrix M(g) von g bzgl. Basis B‘. Dann ist ja die darstellende Matrix der Komposition f•g bzgl. der Basen B’ nach B gerade das Matrixprodukt M(f)M(g) und bei der darstellenden Matrix bzgl. B nach B‘ der anderen Komposition g•f das Matrixpodukt M(g)M(f). Nun gilt ja dann das die Determinante det(g•f) = det(M(g)M(f)) = det(M(f)M(g)) = det(f•g) ist.
Ich habe dann daraus gefolgert das det(M(g)M(f)) - tE) = det(M(f)M(g) - tE) auch gelten muss (E ist die Einheitsmatrix), was ja die Gleichheit der charakteristischen Polynome von g•f und f•g bedeutet, wodurch die Nullstellen ja gleich sind und somit auch die Eigenwerte der beiden Kompositionen. q.e.d.

Mir war eben hier diese eine Folgerung bisschen unklar, ob man das so machen kann. Reinlogisch muss ja det(AB -tE) = det(BA - tE) für jede quadratische Matrizen A und B gelten, da es ja im Prinzip nur heisst, das bei den Diagonaleinträgen andere Matrix-Skalare stehen, was ja die Eigenschaft unverändert lässt.
  ─   user88de87 21.05.2024 um 00:24
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Zu Deinem Beweis: Es ist ok, das ganze auf Matrizen umzuschreiben (aber wozu verschiedene Basen wählen? Eine Basis B, und auf diese alles beziehen).
Es spricht für Deine gewachsene Erfahrung, dass Du bei der Folgerung unsicher bist. Es ist also erstmal nur eine Vermutung. Die geht aber über die Beh. hier deutlich hinaus, denn "gleiche Eigenwerte" heißt nicht unbedingt auch "gleiches char. Polynom". Es könnte A das char. Pol. \((x-2)^4(x-3)^2\) haben, und B hat \((x-2)(x-3)^5\). Eigenwerte gleich, aber unterschiedliche Vielfachheiten. Dass auch die Vielfachheiten, und damit die char. Polynome, gleich sind, ist eben nicht einfach zu zeigen.
Ist in dieser Aufgabe aber auch nicht nötig.
Generell sollte man Determinanten nicht freiwillig ins Spiel bringen, weil  es sich damit viel unbequemer rechnet als mit den Abbildungen bzw. Matrizen selbst.
Zu Deiner Aufgabe: Das ist eine Standardaufgabe, die sich vielfach im Internet und in Foren findet. Beim Suchen in Foren immer vorsichtig sein, da sind auch schonmal Fehler.
Eine saubere Lösung findest Du z.B. https://wwwevs.mathematik.tu-darmstadt.de/index.php?evsid=32&evsver=696&evsdir=472&evsfile=12.+Loesungshinweise.pdf
Hausübung A35 am Ende.
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Ich danke Ihnen! :)   ─   user88de87 21.05.2024 um 16:58

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Gerne. Denk bitte dran, beantwortete Fragen als solche abzuhaken (Anleitung siehe e-mail), auch die früheren bitte. Sonst gerne nochmal nachfragen.   ─   mikn 21.05.2024 um 18:21

Könnten Sie mir bitte nochmal erklären, wo ich genau dafür drauf gehen muss. Ich habe das nicht so ganz verstanden.   ─   user88de87 23.05.2024 um 10:54

Mit jeder eintreffenden Antwort erhälst Du eine e-mail, in der das erklärt ist. subject "Neue Antwort zu deiner Frage" mit animiertem Bildchen als Anleitung. Hast Du diese e-mail gelesen?   ─   mikn 23.05.2024 um 12:09

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