(Twitter)
Hi, ich hatte die Frage schon in einem anderen Forum gestellt, jedoch keine klare Antwort bekommen.
Frage:
Wenn A und B zwei quadratische Matrizen sind, gilt ja det(AB) = det(BA). Gilt dann auch das det(AB - t*E) = det(BA - t*E) ist, wobei E die Einheitsmatrix und t ein Skalar ist?
Ich bekam die Antwort, das es wegen det(AB - tE) = det((AB - tE)^T) = det((AB)^T - tE) = det(B^T A^T - tE) = det(BA - tE) gilt. Es ist mir hier aber unklar, warum die letzte Gleichheit det(B^T - A^T - tE) = det(BA - tE) gelten muss. Ich kenne die Regel det(B^T A^T) = det(BA), jedoch ist hier noch ein -tE und da ist mir es eben unklar. Ich würde mich auf eine Antwort freuen.
LG
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gefragt
user88de87
Punkte: 5
Punkte: 5
Niemand ist hier gezwungen mir es zu erklären. Ich frage einfach nur nach, da ich diese Antwort eventuell dringender brauche. Wenn Sie kein Interesse daran haben, mir zu helfen, finde ich es nicht schlimm, aber bitte schreiben Sie dann am besten einfach nichts. Das ganze ist auch nicht böse gemeint, nur ist es einfach unnötig.
─ user88de87 20.05.2024 um 19:26
─ user88de87 20.05.2024 um 19:26
Wie Du weißt hab ich Interesse zu helfen und gerade Du hast davon profitiert. Aber ich finde es respektlos gegenüber einem Helfer, wenn man nicht ihm die Chance gibt seine Antwort zu erklären (dazu gehört auch mal abwarten - Dir ist ja klar, dass wir hier alle gratis in unserer Freizeit, und das an einem Feiertag, helfen.) Da fände ich mehr Respekt angesagt. Ist meine Meinung.
Ich vermute, dass hinter Deiner Frage eine Aufgabe oder andere Fragestellung steckt. Aber die kenne ich nicht. ─ mikn 20.05.2024 um 19:35
Ich vermute, dass hinter Deiner Frage eine Aufgabe oder andere Fragestellung steckt. Aber die kenne ich nicht. ─ mikn 20.05.2024 um 19:35
Rückfrage ist auf mathelounge beantwortet.
─
mikn
20.05.2024 um 19:51
Sie haben natürlich Recht. Im Normalfall warte ich es auch. Ich war heute nur ein wenig unter Stress. Übrigens war das vorhin auch nicht böse gemeint, ich schätze die Hilfe immer wert. Vorallem haben Sie mir auch schon paar mal geholfen und da bin ich Ihnen sehr dankbar.
─
user88de87
20.05.2024 um 20:43
Schon gut, alles ok. Du siehst die Antwort war alles andere als trivial (das ahnte ich schon). Wenn eine andere Aufgabe hinter Deiner Frage mit det...=det steckt, kannst Du die ruhig hier stellen.
─
mikn
20.05.2024 um 21:00
Danke für das Hilfeangebot!
Die Frage kam ursprünglich aus meiner Beweisidee zum Satz:
Satz: Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum (K ist ein Körper) und f,g: V->V zwei Endomorphimen. Zeige: Die Kompositionen f•g und g•f haben beide dieselben Eigenwerte.
Mein Beweis.
Ich weiss ja, das V endlichdimensional ist, d.h. ich wähle eine Basis B von V und bestimme dann die darstellende Matrix M(f) von f bzgl. Basis B von V und zu einer anderen Basis B‘ von V die darstellende Matrix M(g) von g bzgl. Basis B‘. Dann ist ja die darstellende Matrix der Komposition f•g bzgl. der Basen B’ nach B gerade das Matrixprodukt M(f)M(g) und bei der darstellenden Matrix bzgl. B nach B‘ der anderen Komposition g•f das Matrixpodukt M(g)M(f). Nun gilt ja dann das die Determinante det(g•f) = det(M(g)M(f)) = det(M(f)M(g)) = det(f•g) ist.
Ich habe dann daraus gefolgert das det(M(g)M(f)) - tE) = det(M(f)M(g) - tE) auch gelten muss (E ist die Einheitsmatrix), was ja die Gleichheit der charakteristischen Polynome von g•f und f•g bedeutet, wodurch die Nullstellen ja gleich sind und somit auch die Eigenwerte der beiden Kompositionen. q.e.d.
Mir war eben hier diese eine Folgerung bisschen unklar, ob man das so machen kann. Reinlogisch muss ja det(AB -tE) = det(BA - tE) für jede quadratische Matrizen A und B gelten, da es ja im Prinzip nur heisst, das bei den Diagonaleinträgen andere Matrix-Skalare stehen, was ja die Eigenschaft unverändert lässt. ─ user88de87 21.05.2024 um 00:24
Die Frage kam ursprünglich aus meiner Beweisidee zum Satz:
Satz: Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum (K ist ein Körper) und f,g: V->V zwei Endomorphimen. Zeige: Die Kompositionen f•g und g•f haben beide dieselben Eigenwerte.
Mein Beweis.
Ich weiss ja, das V endlichdimensional ist, d.h. ich wähle eine Basis B von V und bestimme dann die darstellende Matrix M(f) von f bzgl. Basis B von V und zu einer anderen Basis B‘ von V die darstellende Matrix M(g) von g bzgl. Basis B‘. Dann ist ja die darstellende Matrix der Komposition f•g bzgl. der Basen B’ nach B gerade das Matrixprodukt M(f)M(g) und bei der darstellenden Matrix bzgl. B nach B‘ der anderen Komposition g•f das Matrixpodukt M(g)M(f). Nun gilt ja dann das die Determinante det(g•f) = det(M(g)M(f)) = det(M(f)M(g)) = det(f•g) ist.
Ich habe dann daraus gefolgert das det(M(g)M(f)) - tE) = det(M(f)M(g) - tE) auch gelten muss (E ist die Einheitsmatrix), was ja die Gleichheit der charakteristischen Polynome von g•f und f•g bedeutet, wodurch die Nullstellen ja gleich sind und somit auch die Eigenwerte der beiden Kompositionen. q.e.d.
Mir war eben hier diese eine Folgerung bisschen unklar, ob man das so machen kann. Reinlogisch muss ja det(AB -tE) = det(BA - tE) für jede quadratische Matrizen A und B gelten, da es ja im Prinzip nur heisst, das bei den Diagonaleinträgen andere Matrix-Skalare stehen, was ja die Eigenschaft unverändert lässt. ─ user88de87 21.05.2024 um 00:24
─ mikn 20.05.2024 um 19:16