Passwort vergessen was ist die Länge?

Aufrufe: 236     Aktiv: vor 3 Monaten

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Hallo zusammen,

Bei dieser Aufgabe weiss ich gar nicht, wie ich überhaupt vorgehen soll bzw. welche Formel oder welche Verteilung es ist. 

 

Raymond has forgotten his email password. He can however remember that it contains r

occurrences of the letter “c”, of which one is in the final position. The other symbols can only be either

“a” or “b”. How many passwords of length n could he have?

Vielen Dank für eure Unterstützung!

 

Liebe Grüsse

Sayuri

gefragt vor 3 Monaten, 3 Wochen
s
sayuri,
Student, Punkte: 108

 

Wie ist denn dein Ansatz ?   ─   markushasenb, vor 3 Monaten, 3 Wochen

also soweit ich verstehe ist entweder r oder c auf der letzten Position des Passwortes. Danach hat man entweder a oder b das führt zu 2 von 1. Mehr weiss ich nicht..   ─   sayuri, vor 3 Monaten, 3 Wochen

Der letzte ist definitiv ein c. Es gibt davor r-1 weitere c's, und a's und b's. r als Zeichen kommt nicht vor.
Fang doch an mit n=5 o.ä. und versch. r.
  ─   mikn, vor 3 Monaten, 3 Wochen

r kommt ja gar nicht vor!!!   ─   markushasenb, vor 3 Monaten, 3 Wochen

danke mikn! aber warum a und b? soll nicht gemäss text nur eines der beiden auftauchen?   ─   sayuri, vor 3 Monaten, 3 Wochen

Hm, das ist nicht ganz klar ausgedrückt im Text. Ich verstehe es so, dass jedes einzelne Symbol entweder a oder b ist. 100%ig sicher bin ich nicht.   ─   mikn, vor 3 Monaten, 3 Wochen

Sorry , aber wenn man sich so viel mit englischsprachigen Aufgaben beschäftigt , muss man natürlich auch englisch können.
a oder b.
  ─   markushasenb, vor 3 Monaten, 3 Wochen

@markushasenb: Was willst Du uns sagen? Ist das ne Kritik an meinen oder sayuris Englisch-Kenntnissen? Ich finde den Text nicht eindeutig, und Du hast uns auch nicht gesagt, wie Du es verstehst. either or heißt entweder oder, und das ist was anderes als ein normales "oder" und das macht stutzig in dem Zusammenhang.   ─   mikn, vor 3 Monaten, 3 Wochen
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1 Antwort
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Ein Anfang wäre mal folgender Ansatz:

(1) Wie viele Wörter der Länge \(n-1\) gibt es, in denen das Zeichen c genau \(r-1\) mal vorkommt, das Zeichen a \(s\) mal und b \(t\) mal? (Da es an der letzten Stelle keine Auswahl gibt, habe ich das Wort um diese eine Stelle verkürzt.)

(2) Addiere alle diese Ausdrücke, so dass \(s \ge 0\) und \(t \ge 0\).

Die Lösung zu (1) ist

\[ \binom{n-1}{r-1} \binom{n-r}{s} \,,\]

wobei \(n\) und \(r\) fest stehen. Nur \(s\) kann variieren, und zwar im Bereich \(0 \le s \le n-r\).

Das ergibt dann

\[ S = \binom{n-1}{r-1} \sum_{s=0}^{n-r} \binom{n-r}{s} = \binom{n-1}{r-1} \, 2^{n-r} \,.\]

An der Lösung kann man erkennen, dass eine andere Überlegung noch direkter zum Ziel führt:

(1) Auf wie viele Weisen kann man die \(r\) Zeichen c in dem Wort verteilen? \( \implies \binom{n-1}{r-1} \)

(2) Auf die anderen Stellen kann man wahlweise a oder b setzen. \( \implies 2^{n-r} \)

PS: Hier zählen wir auch solche Wörter, die gar kein a oder gar kein b enthalten. Das wird aber in der Aufgabenstellung nicht gefordert.

geantwortet vor 3 Monaten, 1 Woche
r
rodion26
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 222
 
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