Stochastik Verteilungen

Aufrufe: 127     Aktiv: 31.12.2022 um 06:09

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Hallo,

ich habe in der Übungsklausur folgende Aufgabe:


μ ist ja der Erwartungswert und 9 ist die Varianz. 
Hier wollen wir herausfinden, dass für die Wahrscheinlichkeit von (Z>20) < 0,025 gelten soll.

Gibt es hier diesbezüglich eine Formel, die man anwenden kann, oder wie würde man bei diesem Problem vorgehen?
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Hier können die $\sigma$-Regeln helfen.
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Meinst du, dass man diese Verteilung erstmal in einer z-Transformation transformieren muss?   ─   pnat 23.12.2022 um 01:27

Nö. Mit den $\sigma$-Regeln kann man Aussagen über die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der $\sigma$-Umgebungen um den Erwartungswert treffen. Sollte eigentlich behandelt worden sein.   ─   cauchy 23.12.2022 um 01:44

Zu deinem Punkt: Die σ-Regeln besagen, dass bei einer Normalverteilung, wie wir sie hier haben, folgendes gilt:

P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈68,3%
P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈95,4%
P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈99,7%

Die Zufallsgröße X ist ja N(μ;σ²)-verteilt, also hier in dem Fall N(μ;9), Wurzel aus Sigma dementsprechend N(μ;+-3)

Also haben wir den Fall P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈99,7%

Ist das bis hier hin richtig?
=> Ich denke jedoch, dass wir einen anderen Ansatz annehmen müssen, da die σ-Regeln nicht in der Formelsammlung dabei sind, die wir mit zur Klausur nehmen dürfen.

Leider war ich an dieser besagten Vorlesung gesundheitlich nicht in der Lage, diese zu besuchen.
  ─   pnat 23.12.2022 um 03:43

Ja, dann machs halt mit der Z-Transformation und der Tabelle.

Wenn man eine Vorlesung verpasst, ist das überhaupt nicht schlimm. Dann schaut man ins Skript, was gemacht wurde und gut ist.
  ─   cauchy 23.12.2022 um 08:40

Im Skript steht lediglich die Formel für die Z-Transformation, die folgendermaßen aussieht:

φ = (x - μ) / σ

Würde das dann so gehen?
φ = (20 - μ) / 3 | * 3
3φ = 20 - μ | - 20
3φ - 20 = - μ | *(-1)
-3φ + 20 = μ

Oder bin ich hier wieder auf einen anderen Weg?
  ─   pnat 23.12.2022 um 18:49

Und wo hast du jetzt $P(Z>20)<0{,}025$ genutzt? Setze halt die Transformation dort ein. In der Aufgabe muss am Anfang übriges auch $Z$ stehen und nicht $X$. Denn $X$ ist in dem Fall dann die standardnormalverteilte ZV.   ─   cauchy 23.12.2022 um 20:00

Also muss das so heißen:
φ = (z - μ) / σ
?

Z wäre dann ja meine 20 (?), σ wäre +-3, μ ist nicht gegeben und die 0,025 wüsste ich jetzt nicht, wo ich das einsetzen sollte. Aber < 0,025 bedeutet ja, dass bei der Verteilung die 20 Einheiten kleiner als 2,5% sein müssen, oder?
  ─   pnat 25.12.2022 um 18:25

Hast du schonmal mit der Tabelle für Normalverteilungen gearbeitet? Was ist $P(X>20)$ für $X \sim N(0,1)$? Kannst du $k$ finden, so dass $P(X>k)<0{,}025$?   ─   cauchy 25.12.2022 um 23:54

Ja, ich habe mit der Standardnormalverteilung gerechnet (Normalverteilung ist in der Formelsammlung nicht dabei).

Bei unserer Formelsammlung geht die Tabelle der Standardnormalverteilung nur bis φ(3,9), also φ(20) zu suchen wird schwierig.
  ─   pnat 26.12.2022 um 00:22

Ja, weil $P(X>20)\approx 0$. Du kannst jetzt aber die Transformation $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ einsetzen und umstellen, so dass da steht $P(X>k)$ für ein bestimmtes $k$, mit $P(X>k)<0{,}025$. Mit Hilfe der Tabelle kannst du dann ablesen, welchen Wert $k$ haben muss und entsprechend lässt sich dann $\mu$ berechnen.   ─   cauchy 26.12.2022 um 00:35

Irgendwo habe ich echt einen schweren Denkfehler. Ich komme einfach nicht auf die Lösung. Wie stelle ich die Formel um, wenn da kein k ist?   ─   pnat 31.12.2022 um 03:10

Kannst du $k$ bestimmen, so dass $P(X>k) <0{, }25$?   ─   cauchy 31.12.2022 um 06:09

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