(Twitter)
1
Die Ableitung ist ja $$g'(x)=-\sin(x)e^{\cos^2(x)},$$ sodass $$g'(x)>0\Longleftrightarrow \sin(x)<0\Longleftrightarrow x\in ((2k-1)\pi,2k\pi),\ k\in\mathbb Z.$$
Die erste Ableitung ist also nicht überall positiv, allerdings ist die angegebene Lösung auch falsch. Die zweite Ableitung ist in den Intervallen \(((2k+\frac12)\pi,(2k+\frac32)\pi),\ k\in\mathbb Z\) positiv.
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
stal
Punkte: 11.27K
Punkte: 11.27K
Nein, da die Integralgrenze nicht einfach nur \(x\) ist, musst du mit der Kettenregel nachdifferenzieren. So kommt bereits bei der ersten Ableitung der Sinus als Faktor dazu. Es gilt $$\frac d{dx}\int_a^{g(x)}f(x)\,dx=f(g(x))\cdot g'(x).$$ Das sieht man, wenn man das Integral auf der linken Seite als Verkettung von \(x\mapsto\cos x\) und \(x\mapsto\int_a^xf(x)\,dx\) schreibt und dann die Kettenregel anwendet.
─
stal
26.01.2021 um 14:58
Achso. Vielen Dank
─
sebii2
26.01.2021 um 15:54
Das wäre ja dann die zweite Ableitung von g.
g(x) ist ja die Integralfunktion mit dem Parameter t und den grenzen in abhängigkeit von x und somit ist
doch g‘(x) = e^(-cos^2(x))
Somit wäre ihre lösung ja die zweite Ableitung. ─ sebii2 26.01.2021 um 14:52