Verständnislücke Funktionsgleichung mit Sinus

Aufrufe: 486     Aktiv: 24.10.2021 um 16:53
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Ich habe folgendes Problem:
 
Die Gleichung sin(pi*sqrt(x)) = (sqrt(3))/2 im Intervall [144, 196] ist gegeben.
(sqrt(3))/2 ergeben ungefähr 0,866, kein Wert zwischen [144, 196] ergibt jedoch 0,866
Also habe ich die Gleichung nach x umgestellt und mein Taschenrechner sagt 364,7562611. 


Gibt man das jetzt in die obrige Formel ein also sin(pi*sqrt(x)) = (sqrt(3))/2 kommt man auf ein richtiges Ergebnis sin(pi*sqrt(364,7562611)) = (sqrt(3))/2. 
Nun ist das Problem, dass das x sich nicht im Intervall befindet.
 
Gibt man das ganze jetzt bei Wolfram Alpha ein, kommt man jedoch bei auf 1/9. Setzt man das jedoch in die Gleichung ein, kommt man auf kein richtiges Ergebnis.
sin(pi*sqrt(1/9) != (sqrt(3))/2
Plotted man das ganze Ding in Wolfram Alpha kommt es aber auf ein Ergebnis im besagten Intervall.
Da die Sinusfunktion periodisch ist müsste es ja ein Ergebnis in dem Intervall geben. Also ich verstehe schon das sich das Ding theoretisch zwischen 6 und 7 mal Drehen soll und man herausfinden soll wann der Wert (sqrt(3))/2 ist, jedoch weiß ich nicht wie ich auf die Punkte komme. Ich dachte der Winkel würde mir helfen aber da habe ich auch nur Mist gemacht.
Ich hab das mit der Trigonometrie  noch gar nicht auf dem Kasten und würde gerne wissen, wo meine Denkfehler liegen und wie ich auf den richtigen Weg komme. Ich wüsste auch nicht wie ich mit Winkeln arbeiten könnte wenn nur ein Wert gegeben ist oder wie ich mir das Intervall zur Hilfe nehmen könnte. Ich bin etwas verwirrt..
Vielen Dank im Voraus.

EDIT vom 23.10.2021 um 08:15:

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EDIT vom 23.10.2021 um 08:22:

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Zunächst finde ich gut, dass Du das Problem von verschiedenen Seiten angehst.
Auch wenn das hier Widersprüche liefert.
Das kommt daher, dass wolframalpha den Winkel im Bogenmaß interpretiert und Dein TR im Gradmaß. Du kannst aber den TR umstellen auf Bogenmaß, dann sollte das gleiche Ergebnis rauskommen (1/9).
Für das weitere - die Sache mit dem Intervall - muss man wissen, ob in der Aufgabenstellung von Grad- oder Bogenmaß ausgegangen wird. Das Auftauchen von $\pi$ und das schön glatte Ergebnis von 1/9 spricht für Bogenmaß, aber sicher kann man nicht sein.
Wenn man die Gleichung schrittweise auflöst, kommt man zunächst auf $\pi\sqrt{x}=\frac\pi3$. Wegen der Periodizität ist die Gleichung auch erfüllt, falls $\pi\sqrt{x}=\frac\pi3 + 2k\pi$ für beliebiges $k\in Z$. Stelle das nun um nach $x$ und passe $k$ so an, dass $x$ im gewünschten Intervall liegt. Was erhälst Du dann?

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Man sollte noch beachten, dass auch \( \frac{2 \pi}{3} + 2k \pi \) eine Lösung liefert.
Allgemein lässt sich die Lösungsmenge von \( \sin(x)=c \) ja angeben als \( \{ \sin^{-1}(c), \ \pi - \sin^{-1}(c) \}+ 2 \pi \mathbb{Z} \).   ─   42 22.10.2021 um 14:54
wenn ich das von mikn nach x umstelle würde ich auf x = (1/3+2*k)^2 kommen. dann kann ich jetzt theoretisch jeden Wert 35/6 <=k<= 41/6 einsetzen und komme auf Werte die im Intervall liegen und die Gleichung erfüllen   ─   mathefrage333 22.10.2021 um 15:37
Dann wären das 6   ─   mathefrage333 22.10.2021 um 15:50
So weit habe ich es auch noch geschafft, jedoch weiß ich ehrlich gesagt nicht mehr wirklich wo wir uns befinden und wie es jetzt so wirklich überhaupt zur Gleichung kam. Also ich verstehe die 2kpi, jedoch nicht wie es zu den anderen Teilen kam.
Wenn ich das einfach so mache wie anonym gesagt hat, dann würde ich ja einfach arcsin(sqrt(3)/2) nehmen und komme dann auf 1/3pi und das noch ganze -pi dann habe ich {1/3pi;2/3pi) aber ich nehme an das funktioniert nur für sin(x).
k zu benutzen um die erste Stelle x = 1369/9 zu finden habe ich noch geschafft, aber weil wir nichts mit arcsin gemacht habe wüsste ich nicht wie ich pi einfach nutzen kann um die zweite zu finden. Vielleicht sollte ich mich ne Woche später noch mal ransetzten, irgendwie kommts bei mir nicht an..   ─   mathefrage333 22.10.2021 um 16:35
Und was hat es noch mit den 1/9pi auf sich? Mir geht die Aufgabe nicht ausm Kopf..   ─   mathefrage333 22.10.2021 um 22:02
Ich denke nicht, dass arcsin mein Problem ist... sondern das ich nicht verstehe, wie ich weiterkomme, wenn es nicht nur sin(x) ist, sondern sin(pi*sqrt(x)). Dann kann ich ja nicht ganz einfach x mit arcsin herausfinden. Und selbst wenn ich nach x umstelle, bringt mir das x bei 1/9 auch nichts. Ich hab noch mal ein Bild hinzugefügt, vielleicht ist das verständlicher. Auf der linken Seite ist das, was ich nicht verstehe und x ist hervorgehoben und auf der rechten Seite ist alles in Ordnung   ─   mathefrage333 23.10.2021 um 08:27
Wobei wahrscheinlich ist dann doch arcsin mein Problem   ─   mathefrage333 23.10.2021 um 08:28
Gut dann weiß ich jetzt wie es dazu kam. Aber um den zweiten Punkt zu bekommen, kann ich in dem Fall doch nicht ganz einfach pi minus die erste x Stelle, also 1369/9 rechnen. Dann würde ich ja bei -148,96.... landen und das ist ja nicht mehr im Intervall und macht auch in der Situation nicht so viel sinn pi minus Dezimalzahlen zu rechnen. Ich hab eine zweite Stelle x= 1457/9 gefunden (die nicht die Gleichung erfüllt) indem ich mir das Intervall von 144 bis 196 genommen habe und dann mir nur die hälfte also bis 170 angesehen habe. Dann 1369/9 - 144 gerechnet um den Abstand zu haben (73/9) und dann von 170 den Abstand abgezogen um auf 1457/9 zu kommen. Aber das erfüllt die Gleichung nicht mehr. Es tut mir leid für die schwere Geburt aber ich kriegs echt nicht gebacken.   ─   mathefrage333 24.10.2021 um 16:32
Ok ich habs gebacken bekommen...vielen Dank :)   ─   mathefrage333 24.10.2021 um 16:53

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