Ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe bei ganzrationalen funktion

Erste Frage Aufrufe: 32     Aktiv: 15.02.2021 um 20:27

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Wir haben mit diesem Thema neu angefangen und ich habe kein Plan wie ich das lösen soll.
Kann mir da wer helfen?
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Du suchst eine Funktion 4. Grades also
\(f(x)= ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)
D.h. du musst dir die Koeffizienten \(a,b,c,d,e\) "zusammensuchen", damit es passt.
Erste Eigenschaft ist Symmetrie zur y-Achse. Bedeutet
\(f(x)=f(-x)\) -> Was bedeutet das, wenn du das einsetzt. Wann sin die Ergebnisse gleich?
Außerdem hast du Punkte, die auf dem Graphen liegen.
Das sind einfach Funktionswerte (also in die Funktion einsetzen).

Wenn du das machst, gibt es nicht mehr so viele Möglichkeiten, wie \(a,b,c,d,e\) aussehen müssen.

Hoffe das hilft erstmal, damit du den anfangen kannst. Wenn du irgendwo hängst, sag gern Bescheid!
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Zuerst machst du einen allgemeinen Funktionsansatz. Wir suche eine Funktion 4. Grades, das heißt, wir müssen irgendwas mit \(x^4\) haben. Zusätzlich wissen wir, dass die Funktion symmetrisch zur y-Achse ist, das heißt, unsere Funktion besitzt nur gerade Exponenten (bei Bedarf nochmal die Eigenschaften symmetrischer ganzrat. Fkt. nachschlagen). 

Wir machen daher den Ansatz \(f(x)=ax^4+bx^2+c\) (nur gerade Exponenten und der höchste ist 4), Da wir die Funktion nicht genau kennen, benutzen wir die Parameter \(a,b,c\), die wir nun bestimmen wollen. Dafür setzen wir die gegebenen Punkte ein und erhalten dadurch Gleichungen: 

1. \(f(1)=2\) liefert \(a\cdot 1^4 + b\cdot 1^2 + c = 2\) bzw. \(a+b+c=2\).
2. \(f(4)=-1\) liefert \(16a+4b+c=-1\).

Wir haben nun ein System mit zwei Gleichungen, was wir lösen können. Da nur nach einer Funktion gesucht ist, die beide Gleichungen erfüllt, wir aber drei Unbekannte haben, wählen wir einfach \(c=0\). Das funktioniert deshalb, weil \(c\) nur die Verschiebung nach oben oder unten bedeutet. Du hast dann nur noch ein LGS mit zwei Gleichungen und Unbekannten. Wenn du das gelöst hast, hast du eine Funktion gefunden. 

Bei der andere Aufgabe geht man genauso vor.
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