Grad einer Körpererweiterung

Aufrufe: 23     Aktiv: 18.02.2021 um 20:47

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Hallo, 

es geht um folgende Aufgabe: 

die Polynome habe ich bestimmt. Es sind x^4-2x^2-2 für √(1+ √3) und x^2-3 für √3. 
Der Grad der Körpererweiterung ist ja der Grad des Minimalpolynoms. Ich habe aber jetzt 2 Minimalpolynome. In der Musterlösung ist der Grad 4. Aber wieso wählt man jetzt das Polynom 
x^4-2x^2-2 ? 


Danke schonmal für jede Antwort 

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Es gilt \( \sqrt{3} = \left( \sqrt{1 + \sqrt{3}} \right)^2 -1 \in \mathbb{Q} \left( \sqrt{1 + \sqrt{3}} \right) \) und deshalb ist \( \mathbb{Q} \left( \sqrt{1 + \sqrt{3}}, \sqrt{3} \right) = \mathbb{Q} \left( \sqrt{1 + \sqrt{3}} \right) \).
Man erhält also \( [L:\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q} \left( \sqrt{1 + \sqrt{3}} \right) : \mathbb{Q}] = 4 \)
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