Extremwertproblem Exponentialfunktion

Aufrufe: 111     Aktiv: 30.11.2022 um 20:08

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Gegeben ist eine Funktion f durch f(x) = 10x*e^-x^2

Durch den Ursprung 0, einen Punkt A(a | 0) und P(a | f(a)) wird ein Dreieck bestimmt. Berechnen Sie den maximalen Inhalt, den ein solches Dreieck annehmen kann.
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Punkte: 10

 

Hast du eine Skizze? weißt du im Prinzip, wie man bei Extremwertaufgaben vorgeht. Welche Vorleistungen hast du bereits getroffen und an welcher Stelle kommst du nicht weiter?   ─   honda 30.11.2022 um 18:56

Ich habe die Funktion für ein Dreieck eingesetzt: 1/2x*y;

1/2x*10x*e^-x^2 = 5x^2*e^-x^2

Als Ableitung habe ich dann:
e^-x^2*(10x-10x^3)

Ab da komme ich nicht mehr weiter…
  ─   user85f043 30.11.2022 um 19:10
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Du kannst noch 10x zusätzlich ausklammern.

Was ist mit der ersten Ableitung zu machen? (Die Funktion selbst gibt dir ja für jeden x-Wert den zugehörigen Flächeninhalt an und du suchst den größten davon)

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Ok, wenn ich die 10x ausklammere habe ich insgesamt e^-x^2*10x*(-x^2) raus, oder? Um ehrlich zu sein hilft mir das jetzt nicht besonders weiter… Aus dem Teil mit dem e kann ja schonmal nicht 0 herauskommen. Und wie löse ich den anderen Teil auf? Und brauche ich nicht 3 Werte?   ─   user85f043 30.11.2022 um 19:35

fangen wir hinten an: du weißt also, dass du die erste Ableitung Null setzen musst, um den Hochpunkt herauszubekommen. Den musst du dann noch nachweisen. Weshalb brauchst du 3 Werte? Wenn du gleich den richtigen (durch mitdenken) erwischst , reicht einer.

Das Ausklammern hast du aber falsch gemacht, es muss das 10x aus jedem Summanden "herausgezogen" werden, das geschieht durch Teilen und anschließend hat man in der Klammer die gleiche Anzahl an Summanden. Probe: ausmutliplizieren.

Dann Satz vom Nullprodukt anwenden, den e-Teil kannst du dabei gleich weglassen. Falls du das Ausklammern nicht hinbekommst (fange mal nur mit 10 an) könntest du die Lösung auch mit der pq/abc-Formel finden.
  ─   honda 30.11.2022 um 20:08

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