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Wir behandeln gerade in Ana1 die Logarithmusfunktion, nachdem wir mit (Potenz)reihen und Folgen durch sind. Mir fehlt aber etwas das Verständnis dafür. Erst einmal hab ich lange nicht verstanden, wieso \( E(x) = e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \) die Exponentialfunktion heißt, obwohl es doch nur irgendeine Basis ist. 2^x ist doch auch eine Exponentialfunktion. e ist halt eine mit sehr vielen, sehr nützlichen Eigenschaften, aber wieso kann sie diesen doch sehr allgemeinen Begriff kapern?
Jetzt sind wir beim (natürlichen) Logarithmus als Umkehrfunktion der Exp.funktion angelangt und mir fällt mein fehlendes Verständnis auf die Füße. zB ist mir ein Rätsel, wieso man die allgemeine Potenz als \( a^x := e^{x\cdot ln(a)} \) definieren kann. 

Könnt ihr mir ein Buch oder Videoreihen empfehlen, die euch beim Verständnis dieses Bereichs geholfen haben? Ich habe bereits sehr lange rumgesucht, auch die Videos von Daniel Jung haben mir gar nicht geholfen. Englischsprachig wäre auch kein Problem.
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Hier gibt es eine ganze Videoreihe über die Exponentialfunktionen 
https://de.serlo.org/mathe/62960/übersicht
Vielleicht hilft dir das :) 

Vielleicht ein paar konkrete Denkanstöße: e ist eine Zahl. Aus deinen Erklärungen oben finde ich, geht das nicht richtig hervor. Es ist also nicht "irgendeine" Basis, sondern eine ganz bestimmte.
Dann hilft es vielleicht für den Anfang, dass e^x die "natürliche Exponentialfunktion" ist, aber oft auch nur als "Exponentialfunktion benannt wird, was bei dir wahrscheinlich zur Verwirrung geführt hat. über \(e^x\) wird dann die allgemeine bei euch hergeleitet.

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Vieles ist einfach Konvention bzw. hängt vom Gebiet ab, in der Informatik meint man z.B. mit Logarithmus \(\log\) häufig den \(\log_2\), bei der Arbeit mit Pegeln den \(\log_{10} (=\lg)\) und in der Analysis eben den \(\log_e (=\ln)\).

Ähnlich ist es auch Konvention, die natürliche Exponentialfunktion lediglich als Exponentialfunktion zu bezeichnen, auch wenn es - wie du korrekt erkannt ist - nur eine Exponentialfunktion ist.

Deine zweite Frage lässt sich recht einfach mithilfe einiger Rechenregeln herleiten, die wären \(e^{\ln(x)} = x\) und \(ln(a^x) = x \ln(a)\), also \(a^x = e^{\ln(a^x)} = e^{x \ln a}\).

Empfehlungen bzgl. Videoreihen/Büchern o.ä. habe ich leider keine.

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