Berechnen des Kerns & Bildes der Matrix

Aufrufe: 55     Aktiv: 18.02.2021 um 12:10

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Stimmt mein Ansatz /Lösung für dieses Beispiel, Rechnet man die Basis einer Abbildung aus, in dem man die Spalten auf lineare Unabhängigkeit prüft? Vielen Dank schon mal :)


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Auszubildender, Punkte: 148

 

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2 Antworten
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Die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix \(A\) spannen das Bild von \(f\) auf, sind also ein Erzeugendensystem von dem Bild von \(f\). Für die Vektoren der Basis des Bildes von \(f\) reicht es also, die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix \(A\) auf lineare Unabhängigkeit zu untersuchen. Hierfür musst du also das homogene Gleichungssystem \(Ax=0\) in Zeilenstufenform bringen. Hier kannst du also das LGS wiederverwenden,  was du für die Bestimmung des Kerns von \(f\) benutzt hast. Hier sieht man sofort, dass der dritte und vierte Vektor linear Abhängig ist, sodass eine Basis des Bildes von \(f\) die ersten beiden Spaltenvektoren der Matrix sind.
Ich will dir hier vorallem verdeutlichen, dass du bei solchen Aufgagen gar nicht so viel rechnen musst. Durch Anwendung des Gauß-Algorithmus auf das homogene Gleichungssystem \(Ax=0\) kannst du ganz einfach den Kern bestimmen und die Spaltenvektoren auf lineare Abhängigkeit untersuchen.
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Student, Punkte: 1.31K
 

Danke:) Hab ich mich verrechnet? Die Lösung von 2 müsste doch eigentlich stimmen - ist sich alles schön ausgegangen umzuformen - hab in einem Forum gelesen, dass man das Bild eines Raums ausrechnet, in dem man den Gauß Algorithmus für Spalten durchführt   ─   infomarvin 18.02.2021 um 11:24

Nein, du hast dich nicht verrechnet, es gibt hier mehrere mögliche Basen. Ich wollte dir nur zeigen, dass du dir viel zu viel Arbeit gemacht hast, da das Lösen des homogenen LGS bereits ausgereicht hätte, um eine Basis zu bestimmen.   ─   mathejean 18.02.2021 um 11:35

Generell solltest du in Klausuren aufgrund der Zeit schauen, ob du mit einer Rechnung gleich mehrere Aufgaben beantworten kannst. Dies ist meiner Erfahrung nach sogar meistens der Fall und die Klausuren sind dann auch so konzipiert, dass man diesen Weg geht, daher wird es sonst von der Zeit knapp :D   ─   mathejean 18.02.2021 um 11:37

Das ist momentan meine wenigste Sorge :D Ich schreib dir dann bei der anderen Frage nochmal bezüglich Verstädnis, wenn es dir nichts ausmacht, ich erarbeite mir nur die Themen, die ich offensichtlich noch nicht ganz verstanden habe (weil sie eben sehr abstrakt im Buch erklärt wurden) und schaue mir noch Beispiele an (generell: woher soll ich mir herleiten, dass man zur Bestimmung einer Basis eines Bildraums den Gauß (nicht für Zeilen), sondern für Spalten durchführen muss -
Sollte ich zu viele Fragen heute stellen müssen die Admins eh selbst entscheiden, ob sie mich sperren wollen (alles oder nichts (2,3) werden's sicher :) ) - aber bin leider nicht der, der mit anderen lernt - lerne lieber alleine
aber man hat eh 4 Antritte häts nur gerne hinter mich gebracht - und nochmal vielen Dank für alles :)
  ─   infomarvin 18.02.2021 um 12:00

Kein Problem, und vielleicht musst du ja in deiner Klausur auch nur ein bisschen Rechnen :D   ─   mathejean 18.02.2021 um 12:10

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\(\left(\begin {array}{} 1&0&-1&-2\\0&1&2&3\\ \end{array}\right)\Rightarrow Kern(f)=\left(\begin {array}{} 
s+2t\\-2s-3t\\s\\t \end{array}\right) \Rightarrow Bild(f)=<\left(\begin {array}{} 3\\4\\5 \end{array}\right),\left(\begin {array}{} 4\\5\\6 \end{array}\right)>\)
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Danke :) Das komische ist, ich hab e (4 5 6 ) mithilfe der Spaltenumformungen weggebracht - oder muss man Gauß wirklich von Links nach rechts abarbeiten?   ─   infomarvin 18.02.2021 um 11:25

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