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Hallo meine Lieben, ich habe hier oben eine Aussage zu dem Bereich der endlichen Mengen in meiner Veranstaltung Elementarmathematik. Die Aussage an sich ist sehr plausibel und und die ersten beiden Beispiele mit A=leere Menge und B=leere Menge auch, aber das grün markierte verstehe ich überhaupt nicht. Kennt sich jemand damit aus und könnte mir das erklären? Vielen Dank im Voraus :).
In dem beweis wird ja am anfang eine bij von \(A\) nach \( \{1, \dots , n\}\) bzw \(B\) nach \(\{1, \dots , m\}\) gebaut. mittlerweile hast du wahrscheinlich schon verstanden, was bij bedeutet - im grunde kannst du hier nämlich \(A\) bzw \(B\) durch die jeweilig andere menge ersetzen. Also ohne einschränkung \(A = \{1, \dots , n\}\) bzw \( B = \{1', \dots , m'\} \). die striche bei B sollen symbolisieren, dass wegen disjunkt natürlich \( 1 \neq 1' \) gilt.
wie würde man jetzt gleichmächtigkeit zu \(\{1, \dots , n+m\}\) zeigen?
am intuitivsten indem man nacheinander von \(1\) bis \(n\) bzw von \(1\) bis \(m\) zählt. nichts anderes tut die funktion \(h\). mithilfe der fallunterscheidung wird im ersten fall \(1\) bis \(n\) gezählt und im zweiten fall \(1\) bis \(m\). Dabei muss im zweiten fall natürlich \( + n\) gerechnet werden, weil man ja im ersten fall schon genau bis einschließlich \(n\) gezählt hat.
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wenn man aber so wie ich annimmt, dass \(A\) bzw \(B\) nicht nur isomorph zu den zahlenmengen, sondern gleich der zahlenmengen sind, ist die injektivität von \(h\) natürlich schon aus der definition von \(h\) ersichtlich. ─ b_schaub 28.08.2020 um 21:06