Quadratische Gleichung in Z7 lösen

Aufrufe: 789     Aktiv: 22.04.2022 um 10:21
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Hi,

folgende Gleichung: 2a^2-4a+2 = 0
(Lösung(en) herausfinden)

Wie rechnet man hier? Darf man die PQ-Formel anwenden? Und in der Gleichung steht "-4", aber -4 ist kein Element von Z7. Muss man die Gleichung also zunächst umwandeln? 

Danke!

 

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Schüler, Punkte: 94

 
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Ja, die pq-Formel gilt in jedem Körper mit \(1+1\not =0\), man sagt auch Charakteristik nicht zwei. Umwandeln ist gut.
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Student, Punkte: 10.87K

 
Danke erstmal. Wie ist umwandeln gemeint, soll ich die -4 gegen das additive Inverse von 4 in Z7 tauschen, also 3? Bei der PQ-Formel würden sich dann ja Brüche ergeben, welche ja nicht in Z7 liegen, was müsste ich da machen?   ─   anonym622bc 21.04.2022 um 20:40
Ja, es ist \(-4=3\). Natürlich gibt es auch hier Brüche, man darf nur nicht durch 0 teilen. Du musst jeweils nur das multiplikative Inverse berechnen (euklidischer Algorithmus oder einfach nur scharf hinsehen). Interessanter wird es bei den Wurzeln, das schauen wir aber danach   ─   mathejean 21.04.2022 um 21:24
Danke! Also wären a1 und a2 = 1?   ─   anonym622bc 21.04.2022 um 21:42
Ja, sehr gut! Ich gebe dir jetzt einen guten Trick: Du hättest die Gleichung auch erst in \(\mathbb{Z}\) lösen können und dann die Restklassen betrachten können, weil \(\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, a \to [a]\) ein Ringhomorphismus ist, etwas komplizierter wäre es, wenn wir \(\mathbb{Z}\) um Wurzeln erweitern hätten müssen.   ─   mathejean 22.04.2022 um 08:16
Danke!   ─   anonym622bc 22.04.2022 um 10:21

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Ich zitiere aus meiner Antwort auf Deine vorherige Frage zu Z7:
"Alternativ kann man auch direkt die Gleichung durch Probieren lösen.
Also: Nicht lange grübeln, probieren und in 5 Min. ist die Aufgabe erledigt."
Das heißt, auch diese Gleichung könntest Du absolut problemlos (ohne Wurzeln, pq-Wurzeln, additiv-inverse und all das) in 5 Minuten lösen. Es gibt ja nur 7 möglichen Lösungen.
Mich interessiert jetzt, warum Du einen längeren komplizierteren Weg gehen willst. Wozu?
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Um herauszufinden wie man das auch auf die Weise löst, da sowas ja auch in anderen, weniger einfachen Fällen als Z7 dran kommen könnte   ─   anonym622bc 21.04.2022 um 21:52
ok, ja   ─   anonym622bc 21.04.2022 um 23:07
Dieser Weg klappt aber nur dann, wenn das Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Mit p-q-Formel kann man direkt ablesen, welche Wurzeln adjungiert werden müssen   ─   mathejean 22.04.2022 um 08:19

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