Quadratische Gleichung in Z7 lösen

Aufrufe: 147     Aktiv: 22.04.2022 um 10:21

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Hi,

folgende Gleichung: 2a^2-4a+2 = 0
(Lösung(en) herausfinden)

Wie rechnet man hier? Darf man die PQ-Formel anwenden? Und in der Gleichung steht "-4", aber -4 ist kein Element von Z7. Muss man die Gleichung also zunächst umwandeln? 

Danke!

 

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Schüler, Punkte: 94

 
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Ja, die pq-Formel gilt in jedem Körper mit \(1+1\not =0\), man sagt auch Charakteristik nicht zwei. Umwandeln ist gut.
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Student, Punkte: 8.15K

 

Danke erstmal. Wie ist umwandeln gemeint, soll ich die -4 gegen das additive Inverse von 4 in Z7 tauschen, also 3? Bei der PQ-Formel würden sich dann ja Brüche ergeben, welche ja nicht in Z7 liegen, was müsste ich da machen?   ─   anonym622bc 21.04.2022 um 20:40

Ja, es ist \(-4=3\). Natürlich gibt es auch hier Brüche, man darf nur nicht durch 0 teilen. Du musst jeweils nur das multiplikative Inverse berechnen (euklidischer Algorithmus oder einfach nur scharf hinsehen). Interessanter wird es bei den Wurzeln, das schauen wir aber danach   ─   mathejean 21.04.2022 um 21:24

Danke! Also wären a1 und a2 = 1?   ─   anonym622bc 21.04.2022 um 21:42

Ja, sehr gut! Ich gebe dir jetzt einen guten Trick: Du hättest die Gleichung auch erst in \(\mathbb{Z}\) lösen können und dann die Restklassen betrachten können, weil \(\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, a \to [a]\) ein Ringhomorphismus ist, etwas komplizierter wäre es, wenn wir \(\mathbb{Z}\) um Wurzeln erweitern hätten müssen.   ─   mathejean 22.04.2022 um 08:16

Danke!   ─   anonym622bc 22.04.2022 um 10:21

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Ich zitiere aus meiner Antwort auf Deine vorherige Frage zu Z7:
"Alternativ kann man auch direkt die Gleichung durch Probieren lösen.
Also: Nicht lange grübeln, probieren und in 5 Min. ist die Aufgabe erledigt."
Das heißt, auch diese Gleichung könntest Du absolut problemlos (ohne Wurzeln, pq-Wurzeln, additiv-inverse und all das) in 5 Minuten lösen. Es gibt ja nur 7 möglichen Lösungen.
Mich interessiert jetzt, warum Du einen längeren komplizierteren Weg gehen willst. Wozu?
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Um herauszufinden wie man das auch auf die Weise löst, da sowas ja auch in anderen, weniger einfachen Fällen als Z7 dran kommen könnte   ─   anonym622bc 21.04.2022 um 21:52

Dann probier doch damit mal eine Gleichung in Z29 oder so zu lösen, damit Du ein Gefühl dafür kriegst, was ein einfacher Lösungsweg ist. Bloß weil man eine Formel hat, ist die Sache eben nicht immer einfacher.   ─   mikn 21.04.2022 um 22:10

ok, ja   ─   anonym622bc 21.04.2022 um 23:07

Dieser Weg klappt aber nur dann, wenn das Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Mit p-q-Formel kann man direkt ablesen, welche Wurzeln adjungiert werden müssen   ─   mathejean 22.04.2022 um 08:19

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