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Ich schreibe mal hier weiter. Es gibt momentan ein paar Probleme mit der Kommentarfunktion und so finde ich es anschaulicher:
Es gilt
\( a_0 = \frac 1 {\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx \)
Genau du erhälst \( b_k =0 \).
Als Tipp für die zu zeigende Gleichung.
Es gilt \( a_k = \frac {2((-1)^k -1)} {\pi k^2} \)
Bestimme mal ein paar Werte davon. Dir wird eine weitere Regelmäßigkeit auffallen. Dadurch werden viele Koeffizienten wegfallen. Welche sind das?
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.77K
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Wir bestimmen mit der Reihendarstellung
\( \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = a_0 \pi + \sum_{n=0}^{\infty} a_k \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) dx + \sum_{n=0}^{\infty} b_k \int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) dx = a_0 \pi \)
Die beiden rechten Integralle ergeben Null, daher fallen sie weg und man erhält nach umstellen die Gleichung für \( a_0 \) ─ christian_strack 16.04.2019 um 15:49
\( \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = a_0 \pi + \sum_{n=0}^{\infty} a_k \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) dx + \sum_{n=0}^{\infty} b_k \int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) dx = a_0 \pi \)
Die beiden rechten Integralle ergeben Null, daher fallen sie weg und man erhält nach umstellen die Gleichung für \( a_0 \) ─ christian_strack 16.04.2019 um 15:49
Sry ich bin mir noch immer sehr unsicher bei der Aufgabe. Ich habe nochmals den Skript durchgeschaut und finde keine Formel, welche die Reihe so beschreibt. Und das Resultat ist dann folglich a0*pi? Und ich sehe noch immer nicht den Zusammenhang zum eigentlichen Term, welchen ich eigentlich bekommen sollte. Sorry ich blick bei dieser Aufgabe echt nicht durch ich kann auch nicht nachvollziehen, weshalb unsere Professorin uns eine solche Aufgabe gibt....
Nach jetzt denn bald 8 Stunden Mathe lässt aber auch das Gehirn langsam nach ... :-) ─ wizzlah 16.04.2019 um 17:47
Nach jetzt denn bald 8 Stunden Mathe lässt aber auch das Gehirn langsam nach ... :-) ─ wizzlah 16.04.2019 um 17:47
Nicht verzagen wir haben es fast geschafft.
Das was ich da über \( a_0 \) geschrieben habe ist nur die Herleitung des Koeffizienten.Um eine Funktion als Fourierreihe darzustellen, brauchen wir 3 Fourierkoeffizienten. Und zwar \( a_0 , a_k \) und \( b_k \) . Dann können wir die Funktion folgendermaßen darstellen.
\( f(x) = \frac {a_0} 2 + \sum_k^{\infty} (a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)) \)
Nun haben wir bereits \( a_k \) und \(b_k \) berechnet. Also fehlt noch \( a_0 \)
Berechne doch mal das Integral. Du wirst als Lösung \( \pi \) erhalten. Geteilt durch zwei, ist das der erste Summand deiner zuzeigenden Gleichung.
Dann ist \( b_k = 0 \), also kommen wir schon auf
\( f(x) = \frac {\pi} 2 + \sum_{n=1}^{\infty} a_k \cos(nx) \)
Setz doch mal \(a_k \) ein und setze mal ein paar Werte für k ein. Was fällt dir auf? ─ christian_strack 16.04.2019 um 17:57
Das was ich da über \( a_0 \) geschrieben habe ist nur die Herleitung des Koeffizienten.Um eine Funktion als Fourierreihe darzustellen, brauchen wir 3 Fourierkoeffizienten. Und zwar \( a_0 , a_k \) und \( b_k \) . Dann können wir die Funktion folgendermaßen darstellen.
\( f(x) = \frac {a_0} 2 + \sum_k^{\infty} (a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)) \)
Nun haben wir bereits \( a_k \) und \(b_k \) berechnet. Also fehlt noch \( a_0 \)
Berechne doch mal das Integral. Du wirst als Lösung \( \pi \) erhalten. Geteilt durch zwei, ist das der erste Summand deiner zuzeigenden Gleichung.
Dann ist \( b_k = 0 \), also kommen wir schon auf
\( f(x) = \frac {\pi} 2 + \sum_{n=1}^{\infty} a_k \cos(nx) \)
Setz doch mal \(a_k \) ein und setze mal ein paar Werte für k ein. Was fällt dir auf? ─ christian_strack 16.04.2019 um 17:57
Ich sehe auch gerade, das in deiner zu zeigenden Gleichung ein Fehler ist. Es muss
\( f(x) = \frac {\pi} 2 - \frac 4 {\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\cos((2n-1)x)} {(2k-1)^2} \)
Ohne das \(x \) funktioniert es nicht. ─ christian_strack 16.04.2019 um 18:07
\( f(x) = \frac {\pi} 2 - \frac 4 {\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\cos((2n-1)x)} {(2k-1)^2} \)
Ohne das \(x \) funktioniert es nicht. ─ christian_strack 16.04.2019 um 18:07
Alles klar also das habe ich nun verstanden mit den Koeffizienten und der Reihendarstellung, jedoch gelingt es mir noch immer nicht das Integral zu berechnen..
Wie kommt man auf pi? f(x) ist ja |x| und das soll gleich a0*pi sein. Wenn ich aber |x| integrier innerhalb der Grenzen, dann komme ich irgendwie auf x² bzw. Pi². ─ wizzlah 16.04.2019 um 18:27
Wie kommt man auf pi? f(x) ist ja |x| und das soll gleich a0*pi sein. Wenn ich aber |x| integrier innerhalb der Grenzen, dann komme ich irgendwie auf x² bzw. Pi². ─ wizzlah 16.04.2019 um 18:27
Ja das Integral ergibt \( \pi ^2 \) und durch den Vorfaktor \( \frac 1 {\pi} \) erhälst du \( \pi\).
Nun zu \( a_k \). Was ergibt denn \( a_1 , a_2 , a_3 \) und \(a_4 \)? ─ christian_strack 16.04.2019 um 18:38
Nun zu \( a_k \). Was ergibt denn \( a_1 , a_2 , a_3 \) und \(a_4 \)? ─ christian_strack 16.04.2019 um 18:38
Vielen Dank ich bin jetzt wirklich kurz davor aber es gelingt mir noch immer nicht auf den Term zu kommen, welcher oben steht. Ich setze mein berechnetes ak ein und erhalte aber was anderes und habe keinen Vorfaktor 4/Pi vor dem Summenzeichen, sondern nur 1/pi...
─
wizzlah
16.04.2019 um 19:13
Sorry, wenn das gerade so lange dauert bis es Klick macht. Ich bin dir auf jeden Fall sehr(!!) dankbar, dass du dir jedes mal die Zeit nimmst mir zu helfen ;-)
─
wizzlah
16.04.2019 um 19:17
Deshalb sollst du ja die Koeffizienten explizit berechnen. Ich sag ja das du dann eine Regelmäßigkeit sehen wirst.
\( a_1 = \frac {2((-1)^1 -1)} {\pi 1^2} = \frac {-4} {\pi} \)
erkennst du diesen Term?
\( a_2 = \frac {2((-1)^2 -1)} {\pi 2^2} = 0 \ldots \)
Was können wir daraus für eine Schlussfolgerung ziehen? Berechne dafür am besten noch zwei weitere. ─ christian_strack 16.04.2019 um 19:21
\( a_1 = \frac {2((-1)^1 -1)} {\pi 1^2} = \frac {-4} {\pi} \)
erkennst du diesen Term?
\( a_2 = \frac {2((-1)^2 -1)} {\pi 2^2} = 0 \ldots \)
Was können wir daraus für eine Schlussfolgerung ziehen? Berechne dafür am besten noch zwei weitere. ─ christian_strack 16.04.2019 um 19:21
Ahhh endlich hab ichs..... wow ich kanns nicht glauben, jetzt ergibt es auch sinn und man kann die Reihe so wie in dem Skript beschreiben. Tausend Dank!!
─
wizzlah
16.04.2019 um 20:26
Sehr gerne. :)
─
christian_strack
17.04.2019 um 00:49
Grüße
Wizz ─ wizzlah 16.04.2019 um 15:39