Wenn f ◦ g = 0 ist, wieso ist das Bild(g) eine Teilmenge des Kern(f)?

Aufrufe: 244     Aktiv: 09.11.2023 um 15:28
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Hallöchen, ich beschäftige mich grade mit der gleichen Aufgabe wie die Person in diesem Link aus 2018:

https://www.mathelounge.de/542373/endlich-erzeugter-vektorraum-dimension-lineare-abbildungen

Eine Lösung wurde dort geposted. Mir fehlt allerdings der Anstupser, wieso die Lösung Sinn ergibt :D
Leider blieb die gleiche Frage zu der gegebenen Antwort aus 2020 unbeantwortet. 

Daher frage ich hier, nochmal neu:

Kann mir jemand erklären, wieso denn das Bild von g eine Teilmenge des Kernes von f ist, wenn f ◦ g = 0 ist?? Ich verstehe nicht, wie man sich das erschließt. Vielleicht übersehe ich was offensichtliches.

Dankeschööön

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Das geht ohne Internet relativ leicht.
Vor.: $g: V\longrightarrow W, f\circ g=0$
Z.z: $g(V)\subseteq \text{kern}(f)$.
Bew.: Standardanfang bei dieser Beh. (weißt Du sicher); Sei also $y\in g(V)$, d.h. ... und nun Du. Mehr als eine Zeile braucht man nicht.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.01K

 
Wenn y ∈ g(V) dann ist ja auch y ∈ kern(f). Und auch y ∈ bild(g) ? Und dann müsste ja bild(g) ∈ kern(f) ???

Ich blicke noch nicht ganz durch :( und in der aufgabe steht f und g: V->V   ─   kloinerrechner 09.11.2023 um 13:18
Da Du die Aufgabe nicht mitgeliefert hast, hab ich einfach mal $g:V\longrightarrow W$ geschrieben. Mit $V=W$ ändert sich aber nichts.
Sortier erstmal die Gedanken. Bei einem Beweis muss man von der Vor. auf die Beh. schließen. Also, wenn $y\in g(V)$, was heißt das? Zu zeigen ist: $y\in kern(f)$ (das darf also jetzt nicht benutzt werden).
Das ist ein schöner Beweis zum Üben mit schnellem Erfolgserlebnis, weil man nur die Bedeutung der Schreibweisen braucht und die Vor.. Zu rechnen oder umzuformen ist gar nichts. Also alles übersichtlich.   ─   mikn 09.11.2023 um 13:32
Ja, wenn y ∈ g(v) ist, und g(v) Teilmenge von kern(f), bedeutet das doch, dass jedes element von g(v) auch in kern(f) liegt. und wenn y ∈ g(v), dann auch y ∈ kern(f). oder nicht?   ─   kloinerrechner 09.11.2023 um 15:21
Du sollst zeigen(!), dass $g(V)\subseteq kern(f)$ ist, darfst das also nicht benutzen. Weißt Du überhaupt was ein Beweis ist, was "Vor.", "Beh." bedeutet?   ─   mikn 09.11.2023 um 15:28

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