Hallo!

Nachdem mein erste Antwort aufgrund zu kurzen Nachdenkens falsch ausgefallen ist - Dank an cauchy, mich darauf hinzuweisen - hier jetzt der korrekte Ansatz ...

Es geht ja darum, Folgendes zu zeigen: \(  \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k \rightarrow r \). Dies ist äquivalent zu: \( \forall  \, \epsilon > 0 \, \, \exists \, \,  N \in \mathbb{N} \, \, \forall \, n \ge N : \Bigl| \Bigl( {\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k \Bigr) - r \,} \Bigr| < \epsilon \). (Die Klammer innerhalb der Betragsstriche ist natürlich nicht notwendig. Sie dient "nur" dazu, den von mathejean und mir begangenen Fehler zu vermeiden, den Grenzwert \( r \) als Bestandteil der Summe zu betrachten.) Nach Dreiecksungleichung gilt nun:

              \( \Bigl| \Bigl( {\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k \Bigr) - r \,} \Bigr| \, = \, \Bigl| \Bigl( {\frac{1}{n} \sum_{k=1}^N a_k \Bigr)} + \Bigl( {\frac{1}{n} \sum_{k=N+1}^n a_k \Bigr)} - r \, \Bigr| \, \le \, \Bigl| \frac{1}{n} { \sum_{k=1}^N a_k} \Bigr| + \Bigl|  \Bigl( {\frac{1}{n} \sum_{k=N+1}^n a_k \Bigr)} - r \, \Bigr| \, = \, \frac{1}{n} \Bigl| { \sum_{k=1}^N a_k} \Bigr| + \Bigl|  \Bigl( {\frac{1}{n} \sum_{k=N+1}^n a_k \Bigr)} - r \, \Bigr| \)

Der erste Summand \(  \frac{1}{n} \Bigl| { \sum_{k=1}^N a_k} \Bigr| \) geht - unabhängig von der Wahl für \( N \) - für wachsendes n natürlich gegen 0. Man muss sich also nur um den zweiten Summanden kümmern. Aufgrund der Konvergenz \( (a_n) \rightarrow r  \) ist klar, dass man \( N \) so wählen kann, dass für jeden Summanden \( a_n \) mit \( n \ge N \) gilt: \(  |a_n - r| <  \epsilon \). Damit kann man jetzt arbeiten ...

Sorry für meinen ersten fehlerhaften Hinweis!

Gruß, Ruben

Man könnte es folgendermaßen machen:

Sei \( \varepsilon > 0 \).

Wegen \( \lim_{n \to \infty} a_n = r \) gibt es ein \( M \), sodass \( \vert a_n - r \vert < \frac{\varepsilon}{2} \) für alle \( n > M \).

Wir setzen \( C := \sum_{k=1}^{M} \vert a_n - r \vert \).

Wegen \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}( C + (n-M) \frac{\varepsilon}{2}) = \frac{\varepsilon}{2} \) gibt es ein \( N \), sodass \( \frac{1}{n}( C + (n-M) \frac{\varepsilon}{2}) < \varepsilon \) für alle \( n > N \) ist.

Damit erhält man
\( \vert b_n - r \vert \) \( = \vert \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (a_n - r) \vert \) \( \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \vert a_n - r \vert \) \( = \frac{1}{n} ( C + \sum_{k=M+1}^n \vert a_n - r \vert ) \)  \( < \frac{1}{n} ( C + \sum_{k=M+1}^n \frac{\varepsilon}{2} ) \) \( = \frac{1}{n} ( C + (n-M) \frac{\varepsilon}{2} ) < \varepsilon \)
für alle \( n > \max\{M,N\} \).