Diagonalisierbarkeit

Aufrufe: 79     Aktiv: 19.05.2022 um 14:20

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Mir ist aus der Vorlesung bekannt, dass Matrizen auf jeden Fall diagonalisierbar sind, wenn sie reell sowie symmetrisch sind.
Kann eine der Folgenden Fälle ( oder alle) auch diagonlisierbar sein?
  1. Matrix ist reell aber nicht symmetrisch
  2. Matrix ist symmetrisch aber nicht reell
  3. Matrix hat keine der beiden Eigenschaften
Vielen Dank in Voraus und einen schönen Tag noch
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Ja in all diesen Fällen kann eine Matrix diagonalisierbar sein. Generell ist eine Matrix genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis aus Eigenvektoren gibt. Hast du eine \(n \times n\) Matrix, so ist sie immer diagonalisierbar,  wenn du \(n\) Vektoren hast. Es ist aber auch ausreichend,  dass Vielfachheit des Eigenwerts im charakteristischen Polynoms mit der Dimension des Eigenraums übereinstimmt (hier ist sogar Äquivalenz zur Diagonalisierbarkeit). Auch ist eine Matrix genau dann diagonalisierbar,  falls das Minimalpolynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt und nur einfache Nullstellen hat, das folgt beispielsweise aus der Jordan-Normalform
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