Lagrange-Multiplikator, Schnittkurve von Ebene und Zylinder

Aufrufe: 1107     Aktiv: 29.06.2020 um 23:06
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Die Schnittkurve brauchst du gar nicht zu berechnen. Es geht hier um Extrema mit Nebenbedingungen. Genauer

\(f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2\) will minimal werden unter zwei Nebenbedingungen, nämlich zum einen soll es auf der Ebene liegen, zum anderen auf dem Kreis liegen. Es gibt also zwei NBen, \(g_1(x,y,z)=0, g_2(x,y,z)=0\). Dazu dann zwei Lagrange-Multiplikatoren.

Ansatz: \(\nabla f + \lambda_1 \nabla g_1 +\lambda_2 \nabla g_2 =0\).

Und nun einsetzen und rechnen.

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Na, das Abstandsquadrat vom Ursprung ist \(  d^2 = x^2 +y^2 +z^2 \) und die Nebenbedingungen sind die Forderung, dass der Punkt auf der Ellipse liegt, also sowohl auf der Ebene also auch auf dem Zylinder. Also \( x+y-z-1=0 \) und \(x^2+y^2-1=0 \) 

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