Analysis, Exponentialfunktion

Aufrufe: 95     Aktiv: 31.07.2022 um 21:08

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Aufgabe:
Zeigen Sie, dass es keine reelle Zahl x € R gibt, die die Gleichung x=e^x erfüllt.

Ich weiß leider gar nicht, wie ich vorgehen soll. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
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1 Antwort
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Moin, 
skizziere dir doch mal die Graphen der beiden Funktionen \(f(x)=x\) und \(g(x)=e^x\), dann wirst du sehen, warum es keine solche Zahl gibt. Du stellst demnach eine Vermutung (eine Ungleichung) auf, und versuchst dann, diese Vermutung zu beweisen
LG
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Student, Punkte: 2.3K

 

Skizziert habe ich bereits. Ich komme aber leider auf keinen rechnerischen Ansatz.   ─   user75a2d9 31.07.2022 um 19:12

Was erkennst du denn? ist eine Funktion größer als die andere? Wie kann man sowas formulieren (siehe Tipp oben:Ungleichung)?
  ─   fix 31.07.2022 um 19:16

Ja, x < e^x.
Dann ist x/e^x < 1 < e^x/x. Also ist x/e^x < e^x/x für alle x € R.
Ist das dann schon die Lösung?
  ─   user75a2d9 31.07.2022 um 20:27

Dass $x< \mathrm{e}^x$ für alle $x\in\mathbb{R}$ gilt, ist gerade das, was du zeigen musst. Daraus folgt ja sofort diee Behauptung.   ─   cauchy 31.07.2022 um 20:38

@cauchy du meinst sicher „$<$“ und nicht $\leq$“ 😜
An den Frager, falls du einen Ansatz brauchst: soll man z.B. zeigen, dass $a< b$ gilt, kann man auch $0 < b-a$ zeigen. (Analog geht das natürlich auch mit $\leq$)
  ─   maqu 31.07.2022 um 20:54

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@maqu: Danke, ist korrigiert. Ich nutze halt unbewusst häufiger \leq als < :D   ─   cauchy 31.07.2022 um 21:08

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