Integrale berechnen

Erste Frage Aufrufe: 95     Aktiv: 19.09.2022 um 21:38

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Sehr geehrte Mathematiker,

könnte mir jemand vielleicht erklären wie ich diese Integrale löse? Beim ersten Bild ist lautet die Funktion g(x,y)=1 wenn ich die Stammfunktion bilden würde
so hätte ich ja eine von x und y abhängige Funktion G(x,y)=x*y in der ich die Grenzen einsetze. Ich habe das mal versucht zu lösen und zunächst erst nach y integriert, sodass ich eine x-wertige Funktion rausbekomme und danach nach x integriert wenn ich bei beiden die Grenzen 1 und 2 eintrage komme ich auf eine Fläche von 1. 

Beim 2. Bild (Scheibe) bin ich mir total unsicher wie das zu rechnen ist. Soweit ich das verstanden habe liegen 2 Funktionen vor zwischen denen eine "Scheibenfläche" vorliegt aber da hört auch schon mein Verständnis wieder auf. Integriere ich jetzt die Funktion x^2+y^2 und setze die Grenzen 1 und 2 ein? Soll ich auch hier zuerst nach y integrieren und dann nach x? Und in wie fern soll ich Polarkoordinaten verwenden?

Wäre toll wenn ihr mir auch einige Tipps zum lösen geben könnten, sodass ich das Prinzip hinter der Aufgabe verstehe.

Liebe Grüße
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Du musst dir anschauen, wie der Integrationsbereich als Menge aussieht.

Wenn du eine Menge der Form \( M = \{ \ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \vert \ x \in [a,b], \ y \in [c(x),d(x)] \ \} \) hast, wobei die Intervallgrenzen \(c(x)\) und \(d(x)\) von \( x \) abhängen dürfen, so lässt sich das Integral ausrechnen als

\( \int_M g(x,y) \ d(x,y) = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} g(x,y) \ dy \ dx \)

Im ersten Fall hast du beispielsweise die Menge \( M =  \{ \ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \vert \ x \in [0,2], \ y \in [\max\{0,1-x\},2-x] \ \} \). Wir erhalten dann

\( \int_M 1 \ d(x,y) \) \( = \int_0^2 \int_{\max\{0,1-x\}}^{2-x} 1 \ dy \ dx \) \( = \int_0^2 2-x - \max\{0,1-x\} \ dx \) \( = \int_0^1 2-x - (1-x) \ dx + \int_1^2 2-x - 0 \ dx \) \( = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \).

Im zweiten Fall möchtest du nun nicht mehr die Fläche wissen, sondern die Masse. D.h. du musst jetzt über die vorgegebene Dichtefunktion \( g(x,y) = x+y \) integrieren. Der Integrationsbereich ist dabei \( M = \{ \ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \vert \ 1 \le x^2 + y^2 \le 4, \ x,y \ge 0 \ \} \). Man könnte das jetzt noch in die gewünschte Form bringen und dann ausrechnen. Allerdings ist das Rechnen in kartesischen Koordinaten hier etwas schwierig.

Wir betrachten stattdessen die Koordinatentransformation \( \Phi: (0, \infty) \times [0, 2\pi) \to \mathbb{R}^2  \) mit \( \Phi(r,\vartheta) = (r \cos(\vartheta), r \sin(\vartheta)) \), die Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnet. Außerdem betrachten wir die Menge \( N = \{ \ (r,\vartheta) \in \mathbb{R}^2 \ \vert \ r \in [1,2], \ \vartheta \in [0,\frac{\pi}{2}] \ \} \). Wir stellen fest, dass \( \Phi(N) = M \) ist. Mit dem Transformationssatz erhalten wir dann

\( \int_M g(x,y) \ d(x,y) = \int_N g(\Phi(r,\vartheta)) \cdot \vert \det(D\Phi(r,\vartheta)) \vert \ d(r,\vartheta) \)

(formal müsste man hier noch ein paar Details ausführen, z.B. brauchen wir für den Transformationssatz offene Mengen, aber das lasse ich an dieser Stelle mal weg).

Von hier aus solltest du dann alleine weitermachen können. Wenn ich mich auf die Schnelle nicht verrechnet habe, dann sollte als Ergebnis \( \frac{14}{3} \) herauskommen.

Ich hoffe, das hat dir weitergeholfen.
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Ob etwas mit $\pi$ rauskommt, hängt auch vom Integranden ab. Ich komme auch auf $\frac{14}3$. Die Transformationsformel für Polarkoordinaten ist vermutlich auch in der Lehrveranstaltung schon erwähnt worden. Die ganze Frage klingt für mich nach dem hier im Forum häufig vorkommenden Vorgehen "wollen mal sehen, ob man die Aufgabe auch ohne Nachschauen in den Vorlesungsunterlagen lösen kann". Und dabei würde ich persönlich nicht in größerem Maß helfen wollen (kontraproduktiv).   ─   mikn 19.09.2022 um 21:15

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