(Twitter)
Sehr geehrte Mathematiker,
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Du musst dir anschauen, wie der Integrationsbereich als Menge aussieht.
Wenn du eine Menge der Form \( M = \{ \ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \vert \ x \in [a,b], \ y \in [c(x),d(x)] \ \} \) hast, wobei die Intervallgrenzen \(c(x)\) und \(d(x)\) von \( x \) abhängen dürfen, so lässt sich das Integral ausrechnen als
\( \int_M g(x,y) \ d(x,y) = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} g(x,y) \ dy \ dx \)
Im ersten Fall hast du beispielsweise die Menge \( M = \{ \ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \vert \ x \in [0,2], \ y \in [\max\{0,1-x\},2-x] \ \} \). Wir erhalten dann
\( \int_M 1 \ d(x,y) \) \( = \int_0^2 \int_{\max\{0,1-x\}}^{2-x} 1 \ dy \ dx \) \( = \int_0^2 2-x - \max\{0,1-x\} \ dx \) \( = \int_0^1 2-x - (1-x) \ dx + \int_1^2 2-x - 0 \ dx \) \( = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \).
Im zweiten Fall möchtest du nun nicht mehr die Fläche wissen, sondern die Masse. D.h. du musst jetzt über die vorgegebene Dichtefunktion \( g(x,y) = x+y \) integrieren. Der Integrationsbereich ist dabei \( M = \{ \ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \vert \ 1 \le x^2 + y^2 \le 4, \ x,y \ge 0 \ \} \). Man könnte das jetzt noch in die gewünschte Form bringen und dann ausrechnen. Allerdings ist das Rechnen in kartesischen Koordinaten hier etwas schwierig.
Wir betrachten stattdessen die Koordinatentransformation \( \Phi: (0, \infty) \times [0, 2\pi) \to \mathbb{R}^2 \) mit \( \Phi(r,\vartheta) = (r \cos(\vartheta), r \sin(\vartheta)) \), die Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnet. Außerdem betrachten wir die Menge \( N = \{ \ (r,\vartheta) \in \mathbb{R}^2 \ \vert \ r \in [1,2], \ \vartheta \in [0,\frac{\pi}{2}] \ \} \). Wir stellen fest, dass \( \Phi(N) = M \) ist. Mit dem Transformationssatz erhalten wir dann
\( \int_M g(x,y) \ d(x,y) = \int_N g(\Phi(r,\vartheta)) \cdot \vert \det(D\Phi(r,\vartheta)) \vert \ d(r,\vartheta) \)
(formal müsste man hier noch ein paar Details ausführen, z.B. brauchen wir für den Transformationssatz offene Mengen, aber das lasse ich an dieser Stelle mal weg).
Von hier aus solltest du dann alleine weitermachen können. Wenn ich mich auf die Schnelle nicht verrechnet habe, dann sollte als Ergebnis \( \frac{14}{3} \) herauskommen.
Ich hoffe, das hat dir weitergeholfen.
Wenn du eine Menge der Form \( M = \{ \ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \vert \ x \in [a,b], \ y \in [c(x),d(x)] \ \} \) hast, wobei die Intervallgrenzen \(c(x)\) und \(d(x)\) von \( x \) abhängen dürfen, so lässt sich das Integral ausrechnen als
\( \int_M g(x,y) \ d(x,y) = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} g(x,y) \ dy \ dx \)
Im ersten Fall hast du beispielsweise die Menge \( M = \{ \ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \vert \ x \in [0,2], \ y \in [\max\{0,1-x\},2-x] \ \} \). Wir erhalten dann
\( \int_M 1 \ d(x,y) \) \( = \int_0^2 \int_{\max\{0,1-x\}}^{2-x} 1 \ dy \ dx \) \( = \int_0^2 2-x - \max\{0,1-x\} \ dx \) \( = \int_0^1 2-x - (1-x) \ dx + \int_1^2 2-x - 0 \ dx \) \( = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \).
Im zweiten Fall möchtest du nun nicht mehr die Fläche wissen, sondern die Masse. D.h. du musst jetzt über die vorgegebene Dichtefunktion \( g(x,y) = x+y \) integrieren. Der Integrationsbereich ist dabei \( M = \{ \ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \vert \ 1 \le x^2 + y^2 \le 4, \ x,y \ge 0 \ \} \). Man könnte das jetzt noch in die gewünschte Form bringen und dann ausrechnen. Allerdings ist das Rechnen in kartesischen Koordinaten hier etwas schwierig.
Wir betrachten stattdessen die Koordinatentransformation \( \Phi: (0, \infty) \times [0, 2\pi) \to \mathbb{R}^2 \) mit \( \Phi(r,\vartheta) = (r \cos(\vartheta), r \sin(\vartheta)) \), die Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnet. Außerdem betrachten wir die Menge \( N = \{ \ (r,\vartheta) \in \mathbb{R}^2 \ \vert \ r \in [1,2], \ \vartheta \in [0,\frac{\pi}{2}] \ \} \). Wir stellen fest, dass \( \Phi(N) = M \) ist. Mit dem Transformationssatz erhalten wir dann
\( \int_M g(x,y) \ d(x,y) = \int_N g(\Phi(r,\vartheta)) \cdot \vert \det(D\Phi(r,\vartheta)) \vert \ d(r,\vartheta) \)
(formal müsste man hier noch ein paar Details ausführen, z.B. brauchen wir für den Transformationssatz offene Mengen, aber das lasse ich an dieser Stelle mal weg).
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