Komplexe Zahlen

Aufrufe: 74     Aktiv: vor 3 Tagen, 8 Stunden

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Hey ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe 



Vielen Dank im Voraus :)
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Was muss denn erfüllt sein, damit $\overline{z}$ und $\frac{1}{z}$ Einheitswurzeln sind?   ─   1+2=3 vor 6 Tagen, 1 Stunde

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2 Antworten
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Wenn ich dich wäre, würde ich mal überlegen:

Wenn z in Polarform (heißt mit Winkel und Länge) gegeben ist,

was passiert wenn du z bspw. quadrierst, also z*z rechnest?

was passiert bei z^n?

(immer bzgl. winkel und länge gemeint)

und dann überleg dir mal was es dann heißt dass z^n=1 ist (was ist denn länge und winkel von 1?)

 

und dann überletst du dir, wenn z durch seinen winkel und länge gegeben ist, wie sieht es dann mit z quer aus?

oder mit 1/z?

 

 

hier in polarform zu denken macht einem das Leben viel leichter.

Und skizzen helfen da auch immens :-)

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Student, Punkte: 174
 

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Prinzipiell brauchst du die Polarform hier garnicht. Es reicht völlig aus, dass bekannt ist, dass $z^n=1$ ist. Um das für $\overline{z}$ und $\frac{1}{z}$ zu zeigen, braucht man dann nur ein paar Rechenregeln.
Aber für die Anschauung ist das natürlich super ;D
  ─   1+2=3 vor 5 Tagen, 23 Stunden

Dann weiß ich wohl als Einziger nicht auf Anhieb, wie das ginge :-)

Ich meine, ich sehe jetzt zwischen (a+bi)^n und (a-bi)^n nicht so direkt den Zusammenhang :-)
  ─   densch vor 4 Tagen, 22 Stunden

Es gilt für das komplex Konjugierte für $w,z \in \mathbb{C}$: $\overline{w}\cdot \overline{z}=\overline{w\cdot z}$ und außerdem $\overline{\left(\frac{w}{z}\right)} = \frac{\overline{w}}{\overline{z}}$. Demnach vertauscht die komplexe Konjugation mit jeder ganzzahligen Potenzierung. Damit müsste das Ganze doch ziemlich einfach funktionieren, oder nicht? :)   ─   1+2=3 vor 4 Tagen, 21 Stunden

Gott, bin ich blöd!
Klar, das komplex konjugiert vom komplex konjugierten ist ja wieder die zahl selbst -.-

Also im Prinzip kann man statt mit der Potenz n auch mit n mod 2 arbeiten oder so und man kommt auf das selbe ergebnis :O

Eigentlich sind ja üpotenz und konjugation vertauschbar oder sehe ich das falsch? :O
  ─   densch vor 3 Tagen, 8 Stunden

Ja soweit ich weiß vertauscht komplexe Konjugation mit ganzzahliger Potenz. Darum brauchst du hier auch kein mod oder so, du kannst das einfach vertauschen und dann z^n=1 einsetzen, das ist ja die Annahme :D   ─   1+2=3 vor 3 Tagen, 8 Stunden

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\(z=re^{i\phi}\Rightarrow z^n=1\)
\(\overline z=re^{-i\phi}\Rightarrow \overline z^n=...\)
\(z^{-1}=r^{-1}e^{-i\phi}\Rightarrow z^{-n}=...\)
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