0
Hallo zusammen,

ich bräuchte Hilfe beim Beweis der folgednen Summenformel:

\( \sum_{m=2}^{\infty} \sum_{n=2}^{\infty} \frac {1} {m^n} = 1\)

Als ersten Schritt wollte ich nun die geometrische Reihe anwenden dann käme ich zu folgendem: 

\( \sum_{m=2}^{\infty} \sum_{n=2}^{\infty} (\frac {1} {m})^n \) = 
\( \sum_{m=2}^{\infty} \frac {m} {m-1}\)

Als Tipp steht bei der Aufgabe och die Teleskopsumme anzuwenden aber wie komme ich denn jetzt von dort zu einer Teleskopsumme, das geht doch sonst meist über Partialbruchzerlegung aber die ist doch an der Stelle nicht möglich oder? 

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar
gefragt

Punkte: 14

 

Kommentar schreiben

1 Antwort
1
Ich glaube, du hast die geometrische Reihe falsch berechnet. Hast du vielleicht vergessen, dass sie bei \(n=2\) und nicht \(n=1\) beginnt? Richtig wäre $$\sum_{n=2}^\infty\frac1{m^n}=\frac1{m^2}\sum_{n=0}^\infty\frac1{m^n}=\frac1{m^2}\frac1{1-\frac1m}=\frac1{m(m-1)}$$ und jetzt solltest du mit Partialbruchzerlegung und Teleskopsumme weitermachen können.
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 7.61K
 

Super vielen dank ja genau dort lag mein Denkfehler jetzt funktioniert es :)   ─   user012e73 vor 4 Tagen, 1 Stunde

Kommentar schreiben