Reelle Funktionen Skizzieren

Erste Frage Aufrufe: 73     Aktiv: 12.11.2021 um 10:04

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Hallo zusammen, ich hab von meinem Mathe Professor folgende Aufgabe bekommen und soll sie nächste Woche vorstellen. Naja an der Uni bekommt man nicht wirklich Hilfe von den Professoren darum dachte ich mir ich wende mich mal an euch. Ich wäre super froh wenn ihr mir helfen könnt, wie ich die Aufgabenstellung lösen soll.

Wählen Sie eine konkrete reelle Funktion f : R → R. Skizzieren Sie sodann die beiden Mengen

A := {(x, f(x)) : x ∈ R} ⊆ R 2 und B := {(f(x), x) : x ∈ R} ⊆ R 2

Erklären Sie, wie A und B geometrisch zusammenhängen und finden Sie heraus, welche Eigenschaft von f dafür verantwortlich ist, ob B ebenfalls der Graph einer Funktion ist. Wenn in Ihrem konkreten Beispiel B der Graph einer Funktion ist, finden Sie abschließend eine andere konkrete Funktion f, sodass B nun nicht mehr der Graph einer Funktion ist. Wenn in Ihrem konkreten Beispiel B nicht der Graph einer Funktion war, finden Sie eine andere konkrete Funktion f, sodass B nun doch Graph einer Funktion ist.

Freue mich über jede Hilfe und Lösungsansatz.

Quelle: Aufgabensammlung zur Übung Mathematik 1 für Bau- und Umweltingenieurwesen. WS 2021/22
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Wähle doch erstmal eine Funktion (kann erstmal ganz einfach sein) und stelle eine Wertetabelle auf, damit du die Paare $(x,f(x))$ bzw. $(f(x),x)$ bekommst. Diese zeichnest du dann in ein Koordinatensystem ein. Eine Funktion liegt genau dann vor, wenn es zu jedem $x$-Wert höchstens einen $y$-Wert gibt. Sowas kann man anhand der Graphen relativ schnell sehen. Dann nimmst du dir andere Funktionen und versuchst einen Zusammenhang zwischen den Graphen zu finden. 

Hierbei kann dir ein Grafikrechner weiterhelfen zum Zeichnen der Mengen, z.B. Geogebra oder Desmos.
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Kann es sein, dass hier die Umkehrfunktion gesucht wird?   ─   userca121d 11.11.2021 um 16:27

Ja!   ─   mathejean 11.11.2021 um 16:28

Dann solltest du ja schnell auf die benötigte Eigenschaft kommen. :)   ─   cauchy 11.11.2021 um 17:23

Ah ok, jetzt geht mir ein Licht auf. Also hängen A und B geometrisch zusammen, weil sie die Umkehrfunktionen von einander sind. Also muss f injektiv und surjektiv sein, also bijektiv, sodass auch B eine Funktion ergibt.
Also komm ich auf die Lösung der Aufgabe, wenn ich zuerst eine Funktion finde für A, sodass die Umkehrfunktion nicht mehr bijektiv ist. Außerdem muss ich auch noch eine Funktion finden, welche als A nicht bijektiv ist aber als Umkehrfunktion für B wiederum bijektiv ist beziehungsweise eine Funktion. Hab ich das richtig verstanden? :)
  ─   userca121d 11.11.2021 um 17:58

Du brauchst nur eine Funktion, die bijektiv ist und eine, die es nicht ist.   ─   cauchy 11.11.2021 um 20:58

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