Additionstheoreme - sin(a+/-b)

Aufrufe: 816     Aktiv: 11.05.2021 um 16:44
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Hallo zusammen,

Meine Aufgabe ist eine recht simple:

Vereinfachen Sie: \( sin (x) + sin(\pi - x)\)
Lösung: \(2sin(x)\)

Ich versuche zu verstehen wieso? Da bin ich auf die Additionstheoreme gestossen.
Diese besagen: \(sin (\alpha+/-b) = sin\alpha cos\beta +/- cos\alpha sin\beta\)

Danach bin ich das "rechnerisch" angegangen:

\( sin (x) + sin(\pi - x)\) | In der Sinuskurve sieht man das Pi = 0 ist

\(sin\pi cos\beta +/- cos\pi sin\beta\) | Da cos im 2 Quadranten negativ ist, würde hier für Pi = -1 ergeben.

\((0) cos\beta +/- (-1) sin\beta\)


Leider komme ich ab hier nicht mehr weiter, hab ich mich verrechnet?

Im Prinzip versuche ich eig. die Vereinfachung der Aufgabe zu verstehen.
Ich habe auch gesehen, dass man \(\pi - x\) substituieren kann mit z.B \(x\)

Würde dann ergeben \( sin (x) + sin(x)\) ergro \(2sin(x)\), wobei ich mir hierbei nicht sicher bin ist ob man dann nicht Rücksubstituieren müsste?


Gruss
Alu
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Du bist doch fertig, hast es nur nicht gemerkt.
Du hast mit dem Additionstheorem herausgefunden, dass \(\sin (\pi-x)= 0\cdot \cos x -(-1)\sin x\) ist. Das kannst Du noch etwas vereinfachen, und setzt es dann in Deinen Ausdruck \(\sin x +\sin (\pi-x)\), fertig.
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\(0*cosx = 0 \) würde sich somit "aufheben". Wenn man bei -1 die Klammern auflöst, würden durch die Vorzeichregelung aus -1 -> "+1" werden.
\(1*sinx = sinx \)

Hätte dann \(sin x + sin x \)

Ist meine Annahme korrekt?

   ─   aluman 11.05.2021 um 16:35

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Hallo,

du brauchst hier keine Additionstheoreme und auch keine Substitution, sondern lediglich Grundwissen über die Sinusfunktion. Zum einen gilt aufgrund der Punktsymmetrie (zum Ursprung), dass = , und zum anderen bewirkt die Verschiebung des Sinus um eine halbe Periode dasselbe, wie eine Spiegelung an der x-Achse, das heißt, auch hier gilt: Wenn du diese beiden Eigenschaften ausnutzt, kannst du die Aussage leicht nachweisen.

Gruß, Ruben
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