Kongruenzabbildungen (Drehung, Spiegelung)

Aufrufe: 260     Aktiv: 05.10.2023 um 11:52

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Hallo zusammen, 
ich hab noch einmal eine Frage. Gesucht wir die Kongruenzabbildung, welche das Dreieck ABC auf A'B'C' abbildet. 

ich weiß *eigentlich* wie man verschiebt, dreht und spiegelt. Aber irgendwie schaffe ich es nicht, das alles richtig zusammen zu setzen. 

ich hab auch schon unterschiedliche Ansätze probiert. Verschoben, gedreht, gespiegelt. Gespiegelt, verschoben, gedreht. Es passt einfach nie. 

kann mir da jemand weiter helfen?


EDIT vom 04.10.2023 um 09:50:

danke für die Hilfe. So ähnlich hatte ich es tatsächlich schon versucht. Allerdings scheitere ich dann am "zusammensetzen" der Funktion. 

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Student, Punkte: 42

 

Das Problem ist, dass Deine Drehmatrix um den Nullpunkt, und nicht um den Punkt A' dreht.
Außerdem musst Du um den Winkel \(\pi/2 = 90°\) drehen, nicht um \(\pi = 180°\).

Da Drehungen um den Punkt A' durch komplexere Formeln ausgedrückt werden, solltest Du diese Drehungen nicht verwenden, und stattdessen bei Drehungen um den 0-Punkt bleiben, und eine zweite Verschiebung einbauen. Das ergibt folgenden Plan:
- Wende Spiegelung \(\varphi_1\) an, wobei \(\varphi_1\) wie von Dir angegeben. Es entsteht \( \triangle A''B''C''\).
- Wende Verschiebung \(\varphi_2\) an, welche den Punkt A'' auf 0 verschiebt. Es entsteht \( \triangle A'''B'''C'''\). Es ist A'''=0.
- Wende Drehung \(\varphi_3\) an. \(\varphi_3\) ist eine Drehung um 90° um den Nullpunkt. Es entsteht \( \triangle \widehat A \widehat B \widehat C\).
- Wende Verschiebung \(\varphi_4\) an, welche den Punkt \( \widehat A=0\) auf A' verschiebt. Es sollte nun \( \triangle A'B'C'\) rauskommen.
  ─   m.simon.539 04.10.2023 um 12:33

vielen, vielen Dank! Du hast mir so super geholfen. Jetzt passt es. Alle Punkte stimmen überein. Danke:)   ─   user99d9d1 05.10.2023 um 11:52
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2 Antworten
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Ist auch nicht so einfach, wie es aussieht.

Die erste Frage, die man sich stellen muss, ist: Braucht es eine (Achsen-)spiegelung .
Antwort: Ja.
Denn:
- Läuft man durch die Punkte A,B,C und dann wieder zu A, umrundet man das Dreieck GEGEN den Uhrzeigersinn.
- Läuft man durch die Punkte A',B',C' und dann wieder zu A', umrundet man das Dreieck IM Uhrzeigersinn.
- Nur eine Spiegelung dreht den Umlaufsinn um. Also braucht man zwingend eine Spiegelung.
Dabei ist es wurscht, an welcher Achse man spiegelt. Das gespiegelte Dreieck nenne ich A''B''C''.

Als zweites verschiebt man so, dass eine der drei Ecken, z.B. A, zusammen fallen. Genauer: Man finde eine Verschiebung V so, dass V(A'')=A. Das verschobene Dreieck nenne ich A'''B'''C'''.

Als drittes dreht man das Dreieck A'''B'''C''' so, dass es mit A'B'C' zur Deckung kommt. Dabei ist das Drehzentrum zwingend der Punkt A', denn der stimmt ja schon und muss unverändert bleiben.




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Und wo sind deine Ansätze? Die Reihenfolge spielt keine große Rolle. Ansonsten zeichne die Zwischenschritte mit in das Bild.
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