(Twitter)
Nein die Rechnung stimmt nicht, obwohl du auf das richtige Ergebnis kommst. Im Schritt vor der 5 darfst du nicht kürzen, denn das ist eine Summe im Nenner.
Du darfst außerdem, wenn du den Kehrwehrt berechnest, auf keinen Fall die Klammer vergessen. Es ist
\(\dfrac{k\cdot 5^{k+1}}{5^k(k+1)}\)
Mit
\(5^{k+1}=5^k\cdot5^1\)
erhälst du
\(\dfrac{5k\cdot5^k}{5^k(k+1)}\)
Hier darfst du \(5^k\) kürzen:
\(\dfrac{5k}{k+1}=5\cdot\dfrac{k}{k+1}\)
Jetzt weißt du entweder, dass \(\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{k}{k+1}=1\)
Oder du leitest es dir folgendermaßen her:
Erweitere den Bruch mit \(\dfrac{1}{k}\):
\(5\cdot\dfrac{k}{k+1}=5\cdot\dfrac{k\cdot\dfrac{1}{k}}{(k+1)\dfrac{1}{k}}=5\cdot\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{k}}\)
Du weißt, dass \(\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{1}{k}=0\)
Somit ist
\(\lim\limits_{k\to\infty}5\cdot\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{k}}=5\cdot\dfrac{1}{1+0}=5\)
Student, Punkte: 2.44K
\(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^2+3x+4}{2x^2-6x+3}\) berechnen, dann hast du zwei Polynome mit dem Grad 2. Dein Grenzwert ist dann also der Quotient aus den Koeffizienten die jeweils vor dem \(x^2\) stehen. Es gilt also: \(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^2+3x+4}{2x^2-6x+3}=\dfrac{1}{2}\). Die selbe Regel lässt sich auch auf \(\dfrac{k}{k+1}\) anwenden. Du hast wieder zwei Polynome mit dem selben Grad, nämlich 1. Jetzt schaust du dir die Koeffizienten vorm Teil mit dem höchsten Exponeten an. Da hast du zweimal die 1. Es gilt also: \(\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{k}{k+1}=\dfrac{1}{1}=1\). Damit bist du schon am Ziel. Jetzt kann es aber auch gut sein, dass du die Regel nicht kennst, ich hab die auch erst im Studium kennengelernt. Für den Fall dass du die Regel nicht kennst war der Teil ab "Oder". Du kannst dir den Grenzwert auch überlegen, indem du umformst. Ziel ist es dabei auf Ausdrücke zu kommen, von denen man den Grenzwert einfach ablesen kann. Genau das erreichst du wenn du mit \(\dfrac{1}{k}\) erweiterst, denn dann musst du nur noch den Grenzwert von \(\frac{1}{k}\) wissen, und der ist ja simpel. Mit was du erweiterst oder wie du umformst ist nicht immer gleich, da gibts keine Universallösung. Das ist Übungssache. ─ vetox 01.12.2020 um 09:47
warum ist den lim k-> unendlich k/k+1 = 1, das verstehe ich nicht
und wie kommt man auf den Schritt den Bruch mit 1/k zu erweitern? Ich könnte ja genauso mit allem möglichem anderen erweitern ─ dopamin001 01.12.2020 um 08:29