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Hallo Leute,
ich unterstütze meinen Bruder beim Mathelernen, weil mir Mathe leichter fällt als ihm, aber an einigen Stellen kommen weder er noch ich weiter und ich hoffe, Ihr könnt uns weiterhelfen.

Folgende Schwingungsfunktionen sind gegeben: (Sorry für die Umschreibungen, die Eingabe von Funktionen mit "\sqrt{2}" und anderen Latex-Befehlen und Mathjax funktioniert irgenwie nicht richtig)

y1 = Quadratwurzel(2) * a * sin(ωt + 5π/4)
(Im Zeigerdiagramm entspricht das einem Zeiger der Länge 1,414a mit einem Winkel von 225° zum positiven Ast der x-Achse.)

y2 = Quadratwurzel(2) * a * cos(ωt + 5π/4)
(Im Zeigerdiagramm entspricht das einem Zeiger der Länge 1,414a mit einem Winkel von 270° zum positiven Ast der x-Achse.)

y3 = 3 * a * sin(ωt + π/2)
(Im Zeigerdiagramm entspricht das einem Zeiger der Länge 3a mit einem Winkel von 90° zum positiven Ast der x-Achse.)

a), b) c) Zu bestimmen sind die komplexen Amplituden A1, A2 und A3 der in die komplexe Exponentialform transformierten Schwingung in algebraischer Form.
Als Lösungen sind angegeben: A1 = -a -j*a   /    A2 = a -j*a      /   A3 = j*3a
Rechnerisch sind wir auch auf diese Ergebnisse gekommen.

d) Die komplexe Amplitude der Schwingung ist zu bestimmen, die sich aus der Addition der Schwingungen y1 + y2 + y3 = A * e ^jωt in algebraischer Form ergibt.
Lösung: a*j
(Im Zeigerdiagramm entspricht das einem Zeiger der Länge a mit einem Winkel von 90° zum positiven Ast der x-Achse.)
Rechnerisch sind wir auch auf dieses Ergebnis gekommen.  (Ganz simpel eigentlich einfach nur die Addition der Terme aus a), b) und c) )

Auch grafisch konnten wir die Schwingungsfunktion und die Addition und die aus der Addition erhaltene Schwingungsfunktion im Zeigerdiagramm darstellen.


e) Außerdem ist die reelle Amplitude A und der Phasenwinkel φ der aus der Additions der gleichfrequenten Schwingungen y1 + y2 + y3 = A*sin(ωt+φ) zu bestimmen.
Lösung: a

Fragen hierzu:
1) Ist es richtig zu sagen, dass die komplexe Amplitude in der oben angegebenen Form den Realteil und den Imaginärteil des Zeigers zum "Startzeitpunkt angibt. (Aufgaben a) - d)  )
2) Wie berechnet man korrekt die Aufgabe e) ?
3) Was unterscheidet die reelle Amplitude von der komplexen Amplitude? Ist hier die "maximale Schwingungshöhe" anzugeben? Es ist doch immer noch die gleiche "Summenfunktionn" und der Realteil ist zum "Startzeitpunkt" 0 während der Imaginärteil zu diesem Zeitpunkt "a" beträgt. Was sehe ich falsch oder was muss ich hier beachten?
Ich hoffe, ich konnte die Fragen verständlich ausdrücken.

Vielen Dank für Eure Hilfe!

gefragt 3 Monate, 4 Wochen her
striving_mind
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 82

 
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1 Antwort
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Hallo,

ich kenne mich leider auch nicht 100%ig mit dem Zeigermodell aus, aber ich habe mich mal etwas belesen:

1) ja das stimmt, die komplexe Amplitutde ist der Startwert, also die komplexe Zahl für \( t=0 \). 

2) und 3) die reelle Amplitude ist der höchste Punkt denn eine Schwingung annimmt. Die komplexe Amplitude ist die komplexe Zahl im Zeigermodell zum Zeitpunkt \( t=0 \). 
Für die komplexe Darstellung der Schwingung haben wir die Form

$$ z = \hat{z} \cdot e^{j(\omega t + \varphi_0)} = \hat{z} e^{j\omega t} e^{j\varphi_0} $$

die komplexe Amplitude ist definiert als

$$ \underline{\hat{z}} = \hat{z} e^{j\varphi_0}  $$

Der maximal Wert einer Schwingung ist gleichzusetzen mit dem Betrag in der komplexen Darstellung, also hier \( \hat{z} \). Der Phasenwinkel oder Nullphasenwinkel ist dabei \( \varphi_0 \). 
Man kann also aus der komplexen Amplitude die beiden anderen reellen Werte berechnen. 

Ihr habt die komplexe Amplitude der Summe ja bereits berechnet:

$$ \underline{\hat{z}} =  j \cdot a $$

Der Betrag ist daraus schnell berechnet

$$ \hat{z} = \sqrt{0^2 + a^2} = a $$

Den Nullphasenwinkel kann man nun analog zum Winkel einer komplexen Zahl bestimmen. Da der Realteil Null ist und der Imaginärteil positiv, erhalten wir als Winkel sofort

$$ \varphi_0 = \frac \pi 2 $$

Hier findet ihr die von mir verwendeten Quellen: zur Amplitude, zum Zeigermodell und zur Umrechnung in Polarkoordinaten.

Ich hoffe ich konnt weiterhelfen.

Grüße Christian

geantwortet 3 Monate, 3 Wochen her
christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 25.77K
 
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