Gauß-Klammer Stetigkeit

Aufrufe: 1280     Aktiv: 27.01.2021 um 19:16
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Hallo zusammen,

ich hätte eine Frage zu dieser Aufgabe 

In der Vorlesung wurde die Gauß-Klammer kurz angesprochen, aber ich weiß nicht genau was das sein soll.

Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen bitte ?

Danke schon im Voraus

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Die Gauß Klammer bedeutet , dass [x] <= x , also die nächste kleinere ganze Zahl ist . Beispiel : x = 2 --> [x ] = 2 

x = Wurzel 2 --> [x] = 1 

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Die Gauß-Klammer rundet stets ab zur größten ganzen Zahl, die kleiner oder gleich dem Argument ist, z.B. ist $$\lfloor 2\rfloor=2,\quad\lfloor 1.3\rfloor=1=\lfloor 1.99\rfloor,\quad \lfloor -1.5\rfloor =-2.$$

Um zu zeigen, dass die Funktion stetig ist, unterscheide zwei Fälle. Für \(x\notin\mathbb Z\) gibt es eine Umgebung von \(x\), sodass \(\lfloor x\rfloor\) konstant ist. Mit dieser Beobachtung sollte es dir recht einfach fallen, zu zeigen, dass \(f\) in \(x\) stetig ist. Für \(x\in\mathbb Z\) berechne den links- und rechtsseitigen Grenzwert und zeige, dass sie gleich dem Funktionswert sind.

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und ist es bei R dann genauso wie in Z ?
ich muss es ja für R zeigen
oder ?   ─   lawena 27.01.2021 um 12:48
Wie gesagt, du zeigst es zuerst für alle \(x\notin\mathbb Z\) und dann für alle \(x\in\mathbb Z\), dann hast du die Aussage für alle \(x\in\mathbb R\) gezeigt.   ─   stal 27.01.2021 um 12:48

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Die Gauß-Klammer \([x]\) von \(x\) ist die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich \(x\) ist. Sie ist durch folgende Eigenschaften vollständig charakterisiert: \[ [x]\in\mathbb{Z},\qquad [x]\le x<[x]+1.\] Um mit der Gauß-Klammer zu rechnen verwendest Du also immer genau diese zwei Eigenschaften, mehr ist nicht nötig.

Zeichne zuerst den Graphen von \(x\mapsto[x]\), um diese Funktion besser zu verstehen, und dann den Graphen von \(f\). Da wirst Du sehen, dass \(f\) stetig ist, weil es keine Lücken gibt. Außerdem hilft Dir das Bild, einen Beweis für diese Tatsache zu finden.

Ich helfe Dir gerne weiter, wenn Du soweit bist.

Ich helfe mit dem Graphen von \(f\):

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kann ich den graphen zeichnen ohne die Gaußklammer zu beachten ? oder müssen es zwei graphen sein
einmal mit gauß und ohne ?   ─   lawena 27.01.2021 um 12:51
Ich verstehe nicht, was Du meinst. In beiden Funktionen, \([x]\) und \(f\), kommen doch Gauß-Klammern vor. Die musst Du natürlich beachten. Zeichne zwei Graphen.   ─   slanack 27.01.2021 um 13:09
Entschuldigung, dass ich nerve, aber ich weiß nicht genau, wie ich die Funktion mit diesen Gaußklammern zeichnen soll.   ─   lawena 27.01.2021 um 13:39
Der Term \(x-[x]\) durchläuft immer wieder das Intervall \([0,1)\), wenn man \(x\) wachsen lässt. Demnach wird der Graph der Quadratwurzel in jedem ganzzahligen Schritt wiederholt. Mit der Addition von \([x]\) ergibt sich das Bild oben.   ─   slanack 27.01.2021 um 16:31
Vielen lieben Dank
und gibt es etwas, auf was ich bei dem beweis der stetigkeit achten soll ?   ─   lawena 27.01.2021 um 18:06
Mache es so, wie stal sagt: Unterscheide die Fälle \(x_0\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\) und \(x_0\in\mathbb{Z}\), weil die Beweise unterschiedlich sind. Du darfst wahrscheinlich verwenden, dass die Wurzel eine stetige Funktion ist, ohne das noch einmal zu beweisen. Damit wird der erste Fall leicht: Sei \(x_0\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\). Setze \(n:=[x_0]\). Nach der Charakterisierung der Gauß-Klammer gilt dann \(x_0\in(n,n+1)\) und \(f(x)=n+\sqrt{x-n}\) für alle \(x\in(n,n+1)\). Kannst Du den Beweis für diesen Fall jetzt zuende führen? Im anderen Fall untersuche links- und rechtsseitige Grenzwerte.   ─   slanack 27.01.2021 um 18:22
ich glaube diesen fall würde ich hinbekommen
aber ich weiß nicht so recht, wie ich den links- und rechtsseitigen grenzwert untersuchen soll   ─   lawena 27.01.2021 um 18:32
Für \(x_0\in\mathbb{Z}\) setze ich der Einfachheit halber \(n:=x_0\). Du musst dann \(\lim_{x\to n-}f(x),\ \lim_{x\to n+}f(x)\) und \(f(n)\) berechnen und zeigen, dass die Zahlen übereinstimmen. Für den linksseitigen Grenzwert verwendest Du nur die Werte von \(f\) im Intervall \((n-1,n)\), und für den rechtsseitigen Grenzwert nur die Werte von \(f\) im Intervall \((n,n+1)\). Überlege Dir jeweils, wie die Formel für \(f\) in diesen beiden Intervallen konkret aussieht und führe die Grenzübergänge durch.   ─   slanack 27.01.2021 um 19:04
ok danke ich versuchs mal   ─   lawena 27.01.2021 um 19:16

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