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Aufgabe:     

 

Ich habe einfach nur ein Epsilon bestimmt, ohne den Index, da die Deffinition (oben rechts meiner Lösung) genau so im Skript steht, dachte ich das reiche. In der Lösung hat sie nun dieses n(epsilon) gebildet und ich verstehe nicht wirklich warum das nötig ist und bin nicht smart genug um zu bestimmen, ob das nicht eigentlich das selbe ist. (Mathe Vorlesung, aber kein Mathe-Studium)

meine Lösungsidee:

 

Offizielle Lösung:

 

danke schonmal im Voraus.

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Du hast die Definition nicht richtig verstanden. Die Definition lautet, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, falls es ein $N_\varepsilon$ gibt, so dass $|x_n-x|\leq\varepsilon$ für ALLE $\varepsilon$ und für $n\geq N_\varepsilon$ gilt. Du hast es nur für ein konkretes $\varepsilon$ gezeigt und das reicht natürlich nicht. Es ist in der Mathematik ein wesentlicher Unterschied, ob in einer Aussage steht "für alle" oder "es existiert". Die Folge $a_n=(-1)^n$ konvergiert zum Beispiel nicht gegen 1 (sie konvergiert überhaupt nicht), obwohl $|a_n-1|\leq 1$ gilt. Es gilt aber eben nicht $|a_n-1|\leq 0{,}5$. Dieses $N_\varepsilon$, was man eigentlich bestimmt (es hängt von $\varepsilon$ ab) ist quasi die Zahl, so dass für alle nachfolgenden Folgenglieder, also $n\geq N_\varepsilon$, die Ungleichung $|x_n-x|\leq\varepsilon$ gilt. Und da diese Ungleichung für alle $\varepsilon$ gelten muss, kann man für jedes $\varepsilon$ ein solches $N_\varepsilon$ finden. Daher ist es immer nötig, dieses $N_\varepsilon$ anzugeben. 

Ich hoffe, es ist etwas klarer geworden.
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