Unterschied geodätische Gerade und Geodäte

Aufrufe: 280     Aktiv: 17.07.2023 um 17:48

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Hallo :)

was ist denn genau der Unterschied zwischen einer Geodäte und einer geodätischen Gerade in einem metrischen Raum?
Laut meinem Skript ist eine Geodäte der Länge L eine isometrische Einbettung (also eine abstandserhaltende Funktion) von [0,L] nach X (X ist ein metrischer Raum) und eine geodätische Gerade ist dasselbe, nur dass sie von ganz R in den metrischen Raum X geht. Sie hat also nicht Länge L, sondern ist quasi unendlich.

Kann ich mir das dann also so merken, dass eine Geodäte von endlicher Länge ist und somit genau die kürzeste Verbindung von zwei Punkten ist und eine geodätische Gerade von unendlicher Länge ist und eben nur Punkte enthält, aber keinen genauen Anfangs- und Endpunkt hat?

Danke schonmal :)
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Beachte, dass diese Abbildung, die von $[0,L]$, eine "Geodäte der Länge $L$" genannt wird. Ob diese Kurve im herkömmlichen Sinne eine Länge hat (und was das überhaupt heißt), ist eine andere Frage und wird später im Skript diskutiert. Erstmal heißt die Abbildung nur so.
Insb. ist jetzt nicht klar, welche Länge ein geodätischer Strahl, eine geodätische Gerade hat. Diese sind eben keine Geodäten gemäß dieser Definition.
Merken kann man sich also, dass sich diese drei nur in ihrem Definitionsbereich unterscheiden und in der Frage der Anfangs- und Endpunkte (Anfangs- und Endpunkt bzw. nur Anfangspunkt bzw. weder Anfangs- noch Endpunkt.
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Was sind deine deinen Definitionen von geodätischenn Geraden? "Deine Definition" ist ja 

$$f:[0,L] \to X \text{ geodätisch} \iff |x_1-x_2|=d_X(f(x_1),f(x_2)) \; \forall x_1,x_2 \in [0,L]$$,

womit ich ja auch schon meine Probleme habe, da wir ja eine Metrik, nicht zwangsweise norm-induziert, auf $[0,L]$ wählen müssen. Dazu will ich noch loswerden, dass ich diese Definiton von Geodätische noch nicht gesehen habe, da wir vor allem ja eine passende Wahl von Metrik auf $[0,L]$ machen müssen, aber der Interpretation von Geodätischen als kürzestes Strecke, i.e. 

$$\inf L(f)$$

über alle, sagen wir $f$ rektifizierbar und $L$ das Längenfunktional, hängt nicht von der Wahl der Metrik auf $[0,L]$ ab. Analog arguementiert man für $\mathbb{R}$ an Stelle von $[0,L]$.

Der nächste Punkt: Was ist eine Gerade in einem metrischen, und nicht zangsweise linearen, Raum? Wenn du oben $[0,L]$ durch $\mathbb{R}$ ersetzt, macht die Definition ja immernoch Sinn und kein Ausdruck davon ist "unendlich".

Generell gilt ja auch, dass nicht jeder Gerade gleich eine Geodätische ist, nehmen wir mal die obere Halbebene $\mathbb{H}=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y >0 \}$ mit der Metrik $(ds)^2=\frac{1}{y^2}((dx)^2+(dy)^2)$. Da sind die Geodätischen eben u.A. Kreise.

 

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Okay, also das hat mir jetzt nicht so viel weitergeholfen tatsächlich.
Also zuerst einmal: ich befinde mich gerade ausschließlich in der metrischen Geometrie und noch nicht in der hyperbolischen Ebene (dass dort Geodäten nicht mehr die klassischen Geraden, sondern auch Halbkreise sind, ist mir klar, aber darum geht es mir gar nicht). Ich will Geodäten erstmal im metrischen Raum verstehen, da unsere Dozentin auch damit anfängt.
Die Definition einer geodätischen Gerade ist: Sei (X,d) ein metrischer Raum und L aus R>=0. Dann ist eine geodätische Gerade eine isometrische Einbettung von R nach X. Wir betrachten auf R die Standardmetrik.
  ─   emiliahlg 17.07.2023 um 14:25

In dem Fall ist es oft eine interessante Frage ob man eine Geodätische zu einer Geodätischen Gerade geeignet fortsetzen kann. Sagen wir, wir finden eine Geodätische $\gamma$ auf $[0,L]$. Können wir diese zu eine Geodätischen (Gerade) auf $\mathbb{R}$ fortsetzen, so dass auf $\gamma'|_{[0,L]}=\gamma$ gilt? Selbst wenn man mit deutliche "einfacheren" Räumen wie kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten arbeitet, muss man ein weig dafür arbeiten. Also sprich jede geodätische Gerade ist auch eine Geodätische, aber der Umkehrschluss gilt nicht zwangsweise.   ─   crystalmath 17.07.2023 um 15:48

Zu deinem Merkansatz: Ohne den Begriff der Länge gibts auch keinen der kürzesten Verbindung, daher ist dein Merksatz ohne Weiteres ein wenig nichtssagend. Aber ja, eine Geodätische ist in einem Sinne eine "kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten". Zu der geodätischen Geraden spricht man oft von "geodesically complete space" , sprich du kannst einen Anfangspunkt und einen Anfangsgeschwindigkeit vorschreiben und es existiert eine Geodätische mit Definitionsbereich ganz $\mathbb{R}$ mit den vorgeschriebenen Anfangswerten. Schau dir mal den Satz von Hopf-Rinow an, der sollte viele deiner Fragen klären. Spoiler dich da ruhig ein wenig, damit du weißt, worauf es ankommt.
Riemannsche Mannigfaltigkeiten sind ja metrische Räume und Geometrie in allgemeinen metrischen Räumen verallgemeinert diese Konzepte. Oft versucht man eben ohnen einen Begrff der Differenzierbarkeit und lokalen Glattheit auszukommen und dadurch sind viele Begriffe erstmal etwas seltsam in metrischen Räumen.
  ─   crystalmath 17.07.2023 um 16:00

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