Was sind deine deinen Definitionen von geodätischenn Geraden? "Deine Definition" ist ja
$$f:[0,L] \to X \text{ geodätisch} \iff |x_1-x_2|=d_X(f(x_1),f(x_2)) \; \forall x_1,x_2 \in [0,L]$$,
womit ich ja auch schon meine Probleme habe, da wir ja eine Metrik, nicht zwangsweise norm-induziert, auf $[0,L]$ wählen müssen. Dazu will ich noch loswerden, dass ich diese Definiton von Geodätische noch nicht gesehen habe, da wir vor allem ja eine passende Wahl von Metrik auf $[0,L]$ machen müssen, aber der Interpretation von Geodätischen als kürzestes Strecke, i.e.
$$\inf L(f)$$
über alle, sagen wir $f$ rektifizierbar und $L$ das Längenfunktional, hängt nicht von der Wahl der Metrik auf $[0,L]$ ab. Analog arguementiert man für $\mathbb{R}$ an Stelle von $[0,L]$.
Der nächste Punkt: Was ist eine Gerade in einem metrischen, und nicht zangsweise linearen, Raum? Wenn du oben $[0,L]$ durch $\mathbb{R}$ ersetzt, macht die Definition ja immernoch Sinn und kein Ausdruck davon ist "unendlich".
Generell gilt ja auch, dass nicht jeder Gerade gleich eine Geodätische ist, nehmen wir mal die obere Halbebene $\mathbb{H}=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y >0 \}$ mit der Metrik $(ds)^2=\frac{1}{y^2}((dx)^2+(dy)^2)$. Da sind die Geodätischen eben u.A. Kreise.
Also zuerst einmal: ich befinde mich gerade ausschließlich in der metrischen Geometrie und noch nicht in der hyperbolischen Ebene (dass dort Geodäten nicht mehr die klassischen Geraden, sondern auch Halbkreise sind, ist mir klar, aber darum geht es mir gar nicht). Ich will Geodäten erstmal im metrischen Raum verstehen, da unsere Dozentin auch damit anfängt.
Die Definition einer geodätischen Gerade ist: Sei (X,d) ein metrischer Raum und L aus R>=0. Dann ist eine geodätische Gerade eine isometrische Einbettung von R nach X. Wir betrachten auf R die Standardmetrik. ─ emiliahlg 17.07.2023 um 14:25