Unendlich kleine Wahrscheinlichkeit vs unendliche Zeit

Erste Frage Aufrufe: 100     Aktiv: 22.08.2021 um 12:35

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Hallo, meine Freunde und Ich fragen uns seit mehreren Wochen, was die Lösung dieses Problems ist. Folgende Fragestellung: Tritt ein Ereignis ein, wenn die Wahrscheinlichkeit unendlich klein ist (0,00000....1), aber dafür eine unendliche Zeit zur Verfügung steht. Wir bitten um Hilfe. LG Der Forscher
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So wie ich das sehe ist die Frage mathematisch nicht präzise genug gestellt. Insbesondere bleibt unklar, was eine "unendlich kleine Wahrscheinlichkeit" denn sein soll.
Auch die Schreibweise 0,00000...1 trägt da eher zur Verwirrung als zur Aufklärung bei. Wenn du damit eine reelle Zahl meinst, die als Nachkommastellen unendlich viele Nullen und dann eine Eins hat, dann muss ich dir leider sagen, dass es so eine Zahl nicht gibt.
Generell gilt: Nur weil man etwas hinschreiben kann, heißt das noch lange nicht, dass es auch tatsächlich existiert.
  ─   anonym83bed 21.08.2021 um 16:57

Solch eine Zahl gibt es sehr wohl. Nennt sich hyperreelle Zahl und ist eine Zahl, die zur Zahl 0 benachbart einen unendlich kleinen Abstand hat. Man muss mit solchen "gibt es nicht" Aussagen also aufpassen.

Davon abgesehen spielt das für die Frage keine Rolle, weil klar ist, worauf sie abzielt. Es geht lediglich darum, dass es ein Ereignis mit einer noch so geringen Wahrscheinlichkeit ungleich 0 gibt. Dann ist die Frage, ob dieses Ereignis irgendwann eintreten kann.
  ─   cauchy 21.08.2021 um 19:10

@cauchy Ich habe geschrieben "Wenn du damit eine reelle Zahl meinst". Und eine reelle Zahl mit dieser Eigenschaft gibt es nicht. Also ist mein Kommentar durchaus richtig.
Der Übergang zu hyperreellen Zahlen entspricht (meines Wissens nach) nicht der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Wahrscheinlichkeit ist ja einfach nur der Wert eines Ereignisses unter einer Wahrscheinlichkeitsfunktion, und letztere nimmt klassischerweise nur reelle Werte an.
Inwiefern sich das Infinite-Monkey-Theorem und andere Resultate der Wahrscheinlichkeitstheorie auf hyperreelle Zahlen verallgemeinern lassen, ist mir leider nicht bekannt. Wenn du dich da auskennst, kannst du ja vielleicht noch das ein oder andere dazu sagen. Würde mich jedenfalls interessieren.
  ─   anonym83bed 22.08.2021 um 00:32

Sorry, dass hab ich tatsächlich überlesen... Für die Problemstellung sind aber wie gesagt auch keine hyperreellen Zahlen notwendig. Man kann die Anzahl der Nullen ja einfach fixieren, etwa $10^{-1000}$. Fakt ist, dass das Ereignis nach unendlicher Zeit eintreten muss.   ─   cauchy 22.08.2021 um 01:24

Das Problem ist, dass in der Frage ganz explizit der Begriff der unendlich kleinen Wahrscheinlichkeit auftaucht. Das kann man nicht einfach ignorieren und stattdessen eine sehr kleine Wahrscheinlichkeit nehmen. Das sind ja gegebenenfalls zwei völlig unterschiedliche Konzepte. Wir sollten also zunächst auf eine Erklärung des Fragestellers warten, wie genau seine Frage zu interpretieren ist.   ─   anonym83bed 22.08.2021 um 12:35
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Das Ereignis tritt nicht nur ein, es tritt sogar fast sicher unendlich oft ein! 

Hintergründe dazu liefert das Lemma von Borel-Cantelli bzw. das Infinite-Monkey-Theorem: https://de.wikipedia.org/wiki/Infinite-Monkey-Theorem
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